例3：求一个正交变换x=Py,将二次型f(x,2,x)=x+4x号+x号-4xx32-8xx3-4x,x 化成标准形。 解：1、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 -2 -4 1-λ -2 -4 4= -2 -2 4-2 -2 =-(元-5)2(2+4) -4 -2 2 -21-入 从而得的特征值为入=入=5，乙=-4 2、求特征向量 当入=入2=5时，解齐次线性方程组(A-5E)x=0,得基础解系5=(1,0，-1)'， 52=(1,-2,0)7. 当入=-4时，解齐次线性方程组(A+4E)x=0,得基础解系53=(2,1,2)'. 3、将特征向量正交化得： 取%=东%=品-7到 7,73=5得正交向量组为：7，=(1,0，-1)7， 71,71 72=(1/2,-1/2,1/2)7,73=(2,1,2)
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 求一个正交变换 x Py f x x x x x x x x x x x x = = + + − − − ，将二次型 ( , , ) 4 4 8 4 化成标准形。 例3： ( ) 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 4 2 4 2 2 4 2 ( 5) ( 4) 4 2 1 4 2 1 5, 4. 2 5 5 0, (1,0, 1) (1, 2,0) . 4 T T A A E A A E x − − − − − = − − − = − − − = − − + − − − − − = = = − = = − = = − = − = − 解：1、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 ，而 从而得 的特征值为 、求特征向量 当 时，解齐次线性方程组 得基础解系 ， 当 时，解齐次线性方 ( ) 3 1 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 3 4 0, (2,1,2) . 3 , , , (1,0, 1) , (1/ 2, 1/ 2,1/ 2) , (2,1,2) T T T T A E x + = = = = − = = − = − = 程组 得基础解系 、将特征向量正交化得： 取 得正交向量组为：
4. 将正交向量组单位化，得正交矩阵P 6 23 P- 0 ,P2= 22 3 ,P3= 1-3 将P、P、P构成正交矩阵P=(PPP) =3 P= 0 22 则二次型经正交变换x=Py化f为标准形： %=5 ∫=5y+5y-4y若把二次型规范化，则需令仍=人5 = 即得的规范形为f=2+2-2
2 2 2 6 2 3 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 2 2 2 3 2 6 2 2 2 2 6 3 2 2 1 3 3 2 2 2 2 6 3 1 1 2 2 2 1 2 3 2 4 0 , , ; ( ) 0 . 1 5 5 5 4 ; P P P P PP P P f y z f y y y y = = − = = − = − = = + − = ．将正交向量组单位化，得正交矩阵P P P P 将 、 、 构成正交矩阵 则二次型经正交变换x=Py化 为标准形： 若把二次型规范化，则需令 2 3 3 2 2 2 1 2 3 1 5 1 2 z y z f f z z z = 即得 的规范形为 = + −
(二)用配方法化二次型为标准形 二次型中最简单的形式是标准形，标准形中各项的系数恰好是二次型的 矩阵的特征值。而除了使用正交变换法化二次型为标准形外，还有下面要 介绍拉格朗日配方法。 1.配方法的要点：利用和的平方公式和两数平方差公式逐步 消去非平方项并构成新的平方项。 2配方法的步骤： ()若二次型含有x的平方项，则先把含有x的乘积项集中，然后配方， 再对其余的变量同样进行配方，直到都配成平方项为止，经过可逆的 线性变换，就得到标准形 (2)若二次型中不含平方项，只含x,x,≠0(1≠)的项，则先作可逆线性变换 x=yi-yj x=y+y(k=1,2,.,n且k≠i,月，化二次型为含平方项的二次型， x=y 然后再按()中方法配方
(二)用配方法化二次型为标准形 二次型中最简单的形式是标准形，标准形中各项的系数恰好是二次型的 矩阵的特征值。而除了使用正交变换法化二次型为标准形外，还有下面要 介绍拉格朗日配方法。 1.配方法的要点：利用和的平方公式和两数平方差公式逐步 消去非平方项并构成新的平方项。 ( ) (1) ; (2) 0( ) 1, 2, , , (1) . i i i j iij j i j k k x x x x i j x y y x y y k n k i j x y = − = + = = 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方， 再对其余的变量同样进行配方，直到都配成平方项为止，经过可逆的 线性变换，就得到标准形 若二次型中不含平方项,只含 的项，则先作可逆线性变换 且 ，化二次型为含平方项的二次型， 然后再按 中方法配方 2.配方法的步骤：
例4化二次型 f=x+2x3+5x3+2x1x2+2x13+6x2X3 为标准形，并求所用的变换矩阵： 解 含有平方项 含有x的项配方> f=F2+5x+2年2xx,+6x,x x+2x1x2+2x1K3+2x3+5x3+6x23 = (民，+x,+x}一去掉配方后多出来的项 -x-2x2x3+2x号+5x3+6x2x3 =(x+x,+x}+x+4x+4x,x =(+x2+x}+(2+2x月
, . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例4 解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项 ( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x