第二节向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定
第二节 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定
一、线性相关性的概念 定义 给定向量组A:a1,2,am,如果存在不 全为零的数1，k2,km使 k1C1+k202+.+kmCm=0 则称向量组4是线性相关的，否则称它线性无关. 注意 1.若a1,a2,.,an线性无关，则只有当 九1=.=九n=0时，才有 21a1+2c2+.+nan=0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关
0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A 全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义 一、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
·（1)m=时，即对于只有一个向量的向 量组，若该向量为零，则是线性相关的，若 该向量不为零，则是线性无关的。 (2)m=2时，即对于含有两个向量的向 量组，若它们线性相关，则这两个向量对应 分量成比例。 (3)m=3时，即含有三个向量的向量组， 若它们线性相关，则这三个向量共面
❖ （1） 时，即对于只有一个向量的向 量组，若该向量为零，则是线性相关的，若 该向量不为零，则是线性无关的。 ❖ （2） 时，即对于含有两个向量的向 量组，若它们线性相关，则这两个向量对应 分量成比例。 ❖ （3） 时，即含有三个向量的向量组， 若它们线性相关，则这三个向量共面。 ｍ＝１ ｍ＝２ ｍ＝３
结论： 若个向量构成的向量组线性相关，则在该 向量组中至少有一个向量能由其余的一1个 向量线性表示。 ÷如果向量组A中有某个向量能由其余的n一1 个向量线性表示，则向量组A是线性相关的
结论： ❖ 若 个向量构成的向量组线性相关，则在该 向量组中至少有一个向量能由其余的 个 向量线性表示。 ❖ 如果向量组A中有某个向量能由其余的 个向量线性表示，则向量组A是线性相关的。 ｎ ｎ－１ ｎ－１
二、线性相关性的判定 定理 向量组a1,2,.,Cm线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(@1,a2,am)的秩小 于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m
二、线性相关性的判定 ( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A m m = = 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件是 条件是它所构成的矩 阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要 定理