矩阵及其运算 第三节 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结思考题 帮助 返回
一、概念的引入 在数的运算中，当数≠0时，有 aa =aa=1, 其中。-1为a的倒数（或称a的逆） 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵4， 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页 返回
1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数（或称 a 的逆） 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 中的1，那么，对于矩 阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得
二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB=BA=E. 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A1. 例4}}-(3 AB=BA=E,.B是A的一个逆矩阵
二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
注 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的， 设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E, AC=CA=E. 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，即 B=C=A. 上 区回
注 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A
注并不是所有n阶方阵都可逆 例二阶方阵4-（ 不可逆 丙则，若A可通，则存布知许8-公）· 使得AB=E 即 目8-84d68 则有a+c=1且a+c-0,矛盾，故矩阵A不可逆 问：在什么条件下矩阵A是可逆的？若可逆，怎 样求A1?下面的定理给出我们答案
注 并不是所有n阶方阵都可逆 例 二阶方阵 不可逆. 1 1 1 1 A = 1 1 1 0 1 1 0 1 a b a c b d c d a c b d + + = = + + a b B c d = 否则，若 A 可逆，则存在矩阵 ，使得 AB E = A A 1 A − 即 则有a+c=1且a+c=0，矛盾，故矩阵 不可逆. 问： 在什么条件下矩阵 是可逆的？若可逆，怎 样求 ？下面的定理给出我们答案