对称矩阵A叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵A的二次型； 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩， (2)标准形对应的对称矩阵为对角矩阵。 可逆的线 性变换 问：是否任何二次型都可“变成”只含平方项的标准形？ 是否任何对称阵都可“变成”对角阵？ 合同 这就是我们下面要解决的问题
f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩. 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; （2）标准形对应的对称矩阵为对角矩阵。 可逆的线 性变换 合同 问： 是否任何二次型都可“变成”只含平方项的标准形？ 是否任何对称阵都可“变成”对角阵？ 这就是我们下面要解决的问题
四、 化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：如何寻求可逆的线性变换， 将二次型化为标准形？ 对于二次型 f=xTA作可逆线性变换 x=C1 C C12 y 其 C21 C22 y2 中 C ,J= 则： Cnl Cn2 f=xAx =(Cy)"A(Cy)=y'CT ACy=y(C AC)y 定理1任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称 矩阵，则B也为对称矩阵且R(B)=R(A)
四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：如何寻求可逆的线性变换， 将二次型化为标准形？ ( ) ( ) ( ) T T T T T T f x x y y y y y y = = = = A C A C C AC C AC T 对于二次型 f x x = A ,作可逆线性变换 x y = C 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n c c c y c c c y y c c c y = = C 其 中 则： , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称
证明：.·A为对称阵，则A= .BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B,.B为对称阵。 又C可逆，C可逆，由矩阵秩的性质知：R(A)=R(B) 定义4：设A、B均为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C使 得 CTAC=B,则称A合同于B,记作：A二B 合同是矩阵之间的一个关系。易知，合同关系具有如下性质： (1)反身性：A二A因为A=EAE (2)对称性：若A≈B,则B二A因为由B=CAC即得A=(CYBC (3)传递性：若A≈B,B=C,则A=C 由B=CTAC和C=C,TBC,即得：C=C,BC2=(CC2)A(CC2)
( ) , ( ) ( ) T T T T T T T T A A A B C AC C A C C AC B B C C R A R B = = = = = = 证明： 为对称阵，则 ； 为对称阵。 又 可逆， 可逆，由矩阵秩的性质知： 定义4：设A、B均为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C使 得 T C AC B= ,则称A合同于B，记作： A B 合同是矩阵之间的一个关系。易知,合同关系具有如下性质： (1)反身性： A A 因为 T A E AE = (2)对称性： 若A B B A ，则 因为由 B C AC = T 即得 1 1 ( ) − − T A C BC = (3)传递性： 若A B B C A C ， ，则 1 1 2 2 T T 由B C AC C C BC = = 和 即得： 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) T T C C BC C C A C C = =
f=x'Ax 、 x=Cy f=y'(CAC)y C可逆 注：、由定理知二次型f经可逆变换x=Cy后，f的矩阵由A变为CAC,但f的秩不变。 即合同变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性。 2.要使二次型∫经可逆变换x=Cy变成标准形，就是要使 yC ACy=k听+k+.+ky斤=(，2，.yn) y 也就是要使CAC变成对角矩阵。这时，将二次型化为标准形的问题实质上 是寻求可逆矩阵C,使得CAC=A。即如何把对称阵A合同对角化？ 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P,使PAP=A,即P?AP=A 把此结论应用于二次型，就得化二次型为标准形的第一种方法-一正交变换法
1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 , ; 2 , ( , , , ) T T T n n n n n T f x Cy f A C AC f . f x Cy k y k y y C ACy k y k y k y y y y k y C AC = = = + + + == 、由定理知二次型 经可逆变换 后 的矩阵由 变为 但 的秩不变。 即合同变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性。 要使二次型 经可逆变换 变成标准形 就是要使 也就是要使 变成对角矩阵 注： 。这时， T C C AC = 将二次型化为标准形的问题实质上 是寻求可逆矩阵 ，使得 。即如何把对称阵A合同对角化？ f x Ax = x Cy = f y C AC y = ( ) C可逆 1 , , , . , T A P P AP P AP − 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 使 = = 即 把此结论应用于二次型 就得化二次型为标准形的第一种方法-正交变换法
定理2：任给二次型f=立a,x(,=a),(或=h)总有正交变换x=P 使得∫化为标准形f=+入好+.+元y,其中入，.，是f的矩阵A=(a,） 的特征值 推论：任给n元二次型f=x'Ax(A=A),总有可逆变换x=Cz,使f(Cz)为规范形 (一)用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤： 1.写出二次型的矩阵形式f=xAx,求出相应矩阵A; 2.求出的所有特征值入，入2，.，2； 3.求出对应于特征值的特征向量5,52，.，5n 4.用施密特正交化法将特征向量5,52，.，5n先正交化再单位化得n,2,.,n, 构造正交矩阵：C=（☑1,2，.，7n)月 5.作正交变换x=Cy,即可将二次型化为只含平方项的标准形f=y+.+y
( ) ( ) , 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , 2 . n T ij i j ij ji i j n n n ij f a x x a a f x x x Py f f y y y f A a = = = = = = + + + = 任给二次型 （或 A ）总有正交变换 使得 化为标准形 其 定理 ： 中 是 的矩阵 的特征值 , , ( ) . T T 推论：任给n f x Ax A A x Cz f Cz 元二次型 = = （ = ）总有可逆变换 使 为规范形 （一）用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤： ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1. , ; 2. , , , ; 3. , , , ; 4. , , , , , , , , , , ; 5. , . T n n n n n n n f x Ax A A C x Cy f y y = = = = + + 写出二次型的矩阵形式 求出相应矩阵 求出 的所有特征值 求出对应于特征值的特征向量 用施密特正交化法将特征向量 先正交化再单位化得 构造正交矩阵： 作正交变换 即可将二次型化为只含平方项的标准形