z例 求f()=的奇点，如果是极点指出它的级。(1+z)(1+e"")e"=zw=Lnz=In|=+iArg解显然，z=±i是(1+z2)的一级零点=In=+i(arg=+2k元）(k = 0,±1,±2,.)令e元z+1=0.即e元z=-1.. 元z = Ln(-1) =i(元 +2k元) =(2k +1)元i k = 0,±1,±2,. :.. zk=(2k+1)ik=0,±1,±2, (里面包含z=±i)如果(=)在解析，(=)=(二二)(=)n= e":(1+e")/((=。）±0,(=)在=。点解析，m为一正整数）i(2k+1)z=(2k+1)那么=为（=)的m极零点，充要条件是：(=)=0(n=0,1,2m-1),m()±0=[cos(2k+1)+isin(2k+1)]=-元±0.zk=i(2k+1)(k=0,±l,±2,)是(1+e")的一级零点。:z=±i为分母的二级零点z=i(2k+1）（k=1,±2,)为分母的一级零点。综合： z = ±i为f(z)的二级极点;一般我们通过求分母零点来求极点zk=i(2k +1)(k =1,±2,...)为f(z)的一级极点
2 ( ) (1 )(1 )z z f z z e 例 求 的奇点，如果是极点指出它的级。 解 显然，z=i 是 (1+z2) 的一级零点 1 0, 1 ( 1) ( 2 ) (2 1) 0, 1, 2, z z e e z Ln i k k i k 令 即 (2 1) (2 1) (1 ) [cos (2 1) sin (2 1)] 0 z z zi k zi k e e ki k (2 1) ( 0, 1, 2, ) 1 )z k z ik k e 是( 的一级零点。 () ; (2 1) ( 1, 2, ) ( ) k z i fz z i k k fz 为 的二级极点 为 的一级极点。 综合: (2 1) 0, 1, 2, k z k ik =Ln ln ln (arg 2 ) ( 0, 1, 2, ) w e z w z zi z zi z k k Arg (里面包含z=i) ; (2 1) ( 1, 2, ) k z i z ik k 为分母的二级零点 为分母的一级零点。 一般我们通过求分母零点来求极点 0 0 0 0 0 () ( ) 0 0 () () ( ) () ( ( ) 0, ( ) , ) ( ) ( ) 0( 0,1, 2, , 1), ( ) 0. m n m fz z fz z z z z zz m z fz m fz n m fz 如果 在 解析， 在 点解析 为一正整数 那么 为 的 极零点，充要条件是：
例：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是(自学)极点，指出它的级e"==w=Lnz=In-+iArgln(1 + z)1(2) f(z) =()f(2)= ?(e' -1)=In-|+ (arg=+2km)z(k =0,±1,±2,.)解(1)令g(z)=z(e-1),z=0是z的二级零点。令e"-1=0方程e"-1=0的根为：zk=i2k元(k=0,±1,±2...)Z为/z）的m级零:(e"-1)=cos2k元+isin2k元=1±0点，充要条件z1=12k元=i2k元:.zk=i2k(k=0,±l,±2..)为(e"-1)的一级零点（里面包含z=0):z=0为g(z)的三级零点，而z=i2k元(k=±1,±2..)为g(z)的一级零点2或若从级数122, 1=k00 :. 2(e= -1)=2(c++Ne=l-..展开角度看2!3!2!3!n!n!-on!z=0，z=i2k元(k=0,±1,±2..)都是函数f(z)的孤立奇点:.z=0为f(z)三级极点，zk=i2k元(k=±1,±2..)为f(2)一级极点
例: (自学) 2 1 (1) ( ) ( 1) z f z z e ln(1 ) (2) ( ) z f z z 2 3 0 1 1 ,|| 2! 3! ! ! n z n n zz z e z zz n n 2 2 (1) ( ) ( 1), 0 1 0 z z 令 是 的二级零点。令 gz z e z z e 1=0 2 ( 0, 1, 2.) z k 方程 的根为： e z ik k 2 2 ( 1) cos 2 sin 2 1 0 k k z z z ik z ik e e ki k 考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是 极点，指出它的级 2 ( 0, 1, 2.) 1) z k z ik k e 为( 的一级零点 2 3 2 2 ( 1)= ( ) 2! 3! ! n z zz z ze zz n 0 ( ) 2 ( 1, 2.) ( ) k z gz z ik k gz 为 的三级零点，而 为 的一级零点 0 2 ( 0, 1, 2.) ( ) k z z ik k fz ， 都是函数 的孤立奇点 0 2 ( 1, 2.) k z fz z ik k fz 为 ( )三级极点， 为 ( )一级极点 解 (里面包含z=0) 或若从级数 展开角度看 =Ln ln ln (arg 2 ) ( 0, 1, 2, ) w e z w z zi z zi z k k Arg z0为f(z)的m级零 点，充要条件
ln(1 + z)4+In(1+z)2<1(2) f(z) =23n+1zw=Lnz=In|=+iArgz解 1n (z+1)=1n|z+1 / +iarg(z + 1)=In|=|+i(argz+2k元)：第1章“argz在原点及负实轴上不连续”(k = 0,±1,±2,...):.1n(z+1)在负实轴上(-o0,-11每一点不连续，因此也不解析。并且负实轴上(-o0,-1])每一点都不是函数ln(z+1)的孤立奇点因为画一小圈，总包含负实轴上的另外一个奇点（整个负实轴都是奇点）In(1+)的奇点，在其去心邻域0<<1洛朗展开：而z=0是函数f(z)Z4122In(1+z)11172?+.+..)-1-二.无负幂次项+2323n+1ZZIn(1+z) :酒的可去奇点:z=0是函数f(2):z综合：（-o0,-1)每一点都不是函数f(z)的孤立奇点；z=0是f(z)可去奇点
ln(1 ) (2) ( ) z f z z arg( 1), arg z z iz z ln( +1)=ln| +1|+ 第1章“ 在原点及负实轴上不连续” ln(1 ) =0 ( ) 0 1 z z fz z z 而 是函数 的奇点，在其去心邻域 洛朗展开: 2 1 1 3 ln(1 ) ( 1) , 1 23 1n z z n zz z z n ln( +1)在负实轴上(- ,-1]每一点不连续，因此也不解析。 z 并且负实轴上(- ,-1]每一点都不是函数ln( +1)的孤立奇点。 z 2 1 3 2 ln(1 ) 1 1 1 = ( ( 1) )=1- + +. 2 3 1 23 n zz z z n zz z zz n ln(1 ) =0 ( ) z z fz z 是函数 的可去奇点 综合：(- ,-1]每一点都不是函数 的孤立奇点； =0是 可去奇点。 fz z fz () () 解 =Ln ln ln (arg 2 ) ( 0, 1, 2, ) w z zi z zi z k k Arg 无负幂次项 因为画一小圈，总包含负实轴上的另外一个奇点（整个负实轴都是奇点）
2H3(-1)"2参考四章4.3节，+(-D/zk+00sinz...3!5!常见函数的Taylor展开式=(2n+1)!(2n+1)!练习：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是极点，指出它的级（大多是p183作业题）1sin z(1)f(z) :(2)f(z) =z(2 +1)11(3) f(2) = 2 - 22 - 2 +1(4) f(z) =z-sin z(z -1)(z - 2)2(6)f(2) = (5) f(z) = e=-1(sin πz)
3 2 1 (3) ( ) 1 f z z z z 1 (4) ( ) sin f z z z 1 1 (5) ( ) z f z e 2 2 3 ( 1) ( 2) (6) ( ) sin z z f z z 2 2 1 (1) ( ) 1 f z z z 3 sin (2) ( ) z f z z 练习: 3 5 21 21 0 ( 1) sin ( 1) , | | 3! 5! (2 1)! (2 1)! n nn n n zz z z zz z n n 参考四章4.3节， 常见函数的Taylor展开式 考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是 极点，指出它的级(大多是p183作业题)
第5章留数S 5. 1孤立奇点m留数S 5. 2mS 5. 3留数在定积分计算的应用S 5. 4对数留数与幅角原理m
§5.1 孤立奇点 §5.2 留数 §5.3 留数在定积分计算的应用 §5.4 对数留数与幅角原理 第5章 留数