留数s5.21.留数的定义和定理中2.留数的计算规则03.在无穷远点的留数山
1. 留数的定义和定理 2. 留数的计算规则 3. 在无穷远点的留数 §5.2 留数
0.复变函数的积分回顾Z柯西-古萨基本定理：0f(z)在C所围成的区域内解析z)dz =未必为0C所围成的区域内含有f(z)的奇点柯西积分公式：f(z)在D内解析,z.为C内任意一点,f(z)df.2元i9cz-20C是D内正向简单闭曲线明星公式：柯西-古萨的推广-复合闭路定理：[2元in=1dzΦf(z)dz = Φ f(z)dz0n1Zof(2)2元ie高阶导数公式：r(n)(zo),(n = 0,1,2...)dzx(z - zo)n!
0. 复变函数的积分回顾 1 () () C C f z dz f z dz 0 () ( ) 0 () C fz C f z dz C fz 在 所围成的区域内解析 未 必 为 所围成的区域内含有 的奇点 0 0 1 () () d 2 C f z f z z i zz 0 2 1 0 1 n C dz i n z z n 柯西 -古萨基本定理： 柯西积分公式： 0 fz D z C ( ) C D 在 内解析， 为 内任意一点， 是 内正向简单闭曲线 柯西 -古萨的推广 -复合闭路定理： D C z 0 C1 ( ) 1 0 0 () 2 ( ),( 0,1, 2.) () ! n n C fz i dz f z n zz n 高阶导数公式： 明星公式：
D留数的定义和定理0若f(2)在C所围成的区域内解析P.f(z)dz =未必为0若C所围成的区域内含有f(2)的奇点若z.是f(z)的一个孤立奇点，C包含z.在其内部C为z,的去心邻域(0<z-zl<R，圆环域)内任意一条简单闭曲线。则f(z)可展开为洛朗级数,f(z)= c,(z-z),0<z-zo<R对上式f(z)两边沿简单闭曲线C逐项积分得：负幂项除c.,项，积分为0Φ f(2)dz=...+c_nΦ.(z-z)"dz+...+c_,Φ.(z-z)'dz是根据明星公式。正幂项积分为0是因为其+C+cΦ(z-zo)dz+..+c,(z-zo)"dz+.作为g(-)函数解析(通常幂级数，泰勒级数）。dzd2元in=0=2元ic_1=Ce(=-2)=dPcz-zoPp-oFr(=-20)+-=[0n0
1. 留数的定义和定理 0 0 ( ) ( ) ( ) ,0 n n n f z fz c z z z z R 则 可展开为洛朗级数， 对上式 两边沿简单闭曲线 逐项积分得： fz C ( ) 0 0 0 0 () , 0 z fz C z Cz zz R 若 是 的 一 个 孤 立 奇 点 包 含 在 其 内 部， 为 的 去 心 邻域( ，圆 环域) 内 任 意 一 条 简 单 闭 曲 线 。 0 () ( ) 0 () C fz C f z dz C fz 若 在 所围成的区域内解析 未必为 若 所围成的区域内含有 的奇点 01 0 0 ( ) . ( ) . n n C C c c z z dz c z z dz 1 1 0 2 C dz c ic z z 1 0 10 ( ) =. ( ) . ( ) n n CC C f z dz c z z dz c z z dz 0 1 1 | | 0 0 2 0 0 0 n n C zz r dz dz i n zz zz n 负幂项除 c-1项，积分为 0 是根据明星公式。 正幂项积分为 0是因为其 作为 g(z)函数解析(通常 幂级数，泰勒级数)。 D z 0 R C
定义设z为f(z)的孤立奇点，f(z)在z邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z-zo)-1 的系数 c,称为f(z)在 zo的留数(Residue)，记作 Res[f(z),zo] 或Resf(zo)。(1)由留数定义，Res [f(z), zo]= c_1(2)故 Res[f(z),z]=c-1 f(z)dz-2元i注：通过积分仅留下来一项。积分以后所留下来的数/2元i-留数
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)，记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1 (1) 0 1 1 Res[ ( ), ] ( ) (2) 2 C f z z c f z dz i 故 注：通过积分仅留下来一项。积分以后所留下来的数/2πi=留数
定理一（留数定理）设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点zi,z2,,zn,以外处处解析，C是D内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线则f(z)dz = 2元iRes[f(z),z] (3)C0z1k=1O5D长沿闭曲线C的积分=C内各孤立奇点的留数之和乘2元i证明：用互不包含,互不相交的n条与C同向简单闭曲线C(k=1,2,n)，将闭曲线C内的孤立奇点z,围绕
1 2 () , , , , , , n fz D zz z C D 设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 以外 处处解析 是 内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线 则 定理一（留数定理） , ( 1,2, ) , k k nC C kn C z 用互不包含 互不相交的 条与 同向简单闭曲线 ，将闭曲线 内的孤立奇点 围绕 证明: D C zn z1 z3 z2 1 ( ) 2 Res[ ( ), ] (3) n k C k f z dz i f z z 沿闭曲线C 的积分 = C 内各孤立奇点的留数之和乘2πi