定理如果f(z)在z.解析，f(z)=(z-zo)"d(z)(d(z)± 0,d(z)在z点解析,m为一正整数)那么z.为f(z)的m级零点，充要条件是：← f(n)(zo) =0(n = 0,1,2,.,m-1), f(m)(zo)± 0证明：：若设(z)=c(z-zo)",其中c=Φ(zo)0n=0-0(即(z)在zo的Taylor展:. f(2)=Zc,(z-z0)n+m开式前m项系数为零）n=由Taylor级数的系数公式有：C,=二f("(zo)f(n)(z)= 0 (n = 0,1,2,..",m-1)m)(zo)而（充分性证明略）C。≠0必要性得证！m!
0 0 0 0 0 () ( ) 0 0 () () ( ) () ( ( ) 0, ( ) , ) ( ) ( ) 0( 0,1,2, , 1), ( ) 0. m n m fz z fz z z z z zz m z fz m fz n m fz 如果 在 解析， 在 点解析 为一正整数 那么 为 的 级零点，充要条件是： 0 00 0 () ( ), ( ) 0 n n n z cz z c z 若设 其中 定理 证明： 必要性得证！ 0 0 () ( )n m n n fz c z z ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( 0,1,2, , 1), ( ) 0 ! n m Taylor fz n m f z c m 由 级数的系数公式有： 而 （充分性证明略） (即f(z)在z0的Taylor展 开式前m项系数为零) ( ) 0 1 ( ) ! n n c fz n
如果(=）在=解析，（=)=（-）"（）（（=）±0.（=）在=点解析m为一正整数那么=为f（=）的m极零点，充要条件是：f)(=）=0(n=01,2,,m-1)f（m(=）±0例如：z=0与z=1均为f(z)=z(z-1)的零点。又 f'(z) =(z -1)3 +3z(z -1)3f"(z) = 6(z -1)2 +6z(z -1)f"() = 12(z -1) +6(z -1) +6z: f'(0) = (-1)3 ± 0：z=0为f(z)的一级零点f"(1)=6±0: f'(1)= 0f"(1)=0. z=1为f(z)的三级零点
3 例如：z z f z zz 0 1 ( ) ( 1) 与 均为 的零点。 f ( ) 12( 1) 6( 1) 6 zz z z 3 2 又 f z z zz ( ) ( 1) 3 ( 1) f (1) 0 2 f z z zz ( ) 6( 1) 6 ( 1) 3 (0) ( 1) 0 0 f z fz 为 ( )的一级零点 z fz 1为 ( )的三级零点。 f (1) 0 f (1) 6 0 0 0 0 0 0 () ( ) 0 0 () () ( ) () ( ( ) 0, ( ) , ) ( ) ( ) 0( 0,1,2, , 1), ( ) 0. m n m fz z fz z z z z zz m z fz m fz n m fz 如果 在 解析， 在 点解析 为一正整数 那么 为 的 极零点，充要条件是：
函数的零点与极点有下面的关系：1定理：z。是f(z)的m级极点z.是的m级零点。f(z)证明“=”，若z为f(2)的m级极点，则(根据极点性质)1g(z) (g(z)在zo解析,且g(zo)±0)f(zm8Z1(当z时)h(z)Zf(z)g(z)(p(zo)不等于0说明(z)无正z-zo乘项，(h(z)在zo解析,且 h(zo) ≠0p(z)在z.解析说明(z)无负z-Z.项111的m级零点。0...只要令则z.是0lim2-% f(2)f(zo)f(2)
0 定理: z fz m 是 ( )的 级极点 0 1( ) z m f z 是 的 级零点。 证明 0 0 0 1 () () () , ( ) 0 ( )m f z gz gz z gz z z 在 解析 且 “”，若 z0为 f (z)的m 级极点，则(根据极点性质) 00 0 1 1 ( ) ( ) () ( ) () () m m z z z z hz z z f z gz 当 时 hz z hz () , ( ) 0. 在 0 0 解析 且 0 0 0 1 11 lim 0, 0 () ( ) () z z z m fz fz fz 只要令 ，则 是 的 级零点。 函数的零点与极点有下面的关系： φ(z0)不等于0说明φ(z)无正z-z0乘项， φ(z)在z0解析说明φ(z)无负z-z0项
p(zo)不等于0说明o(z)无正z-z.乘项(z)在z.解析说明p(z)无负z-z.项“←”，若z是的m级零点，则（根据零点定义）f(z)1(d()在z解析,且(z)≠0(z - z0)m d(z)f(2)111当z≠z.时，f(z)y(2)(z -zo)d(z)(z-zo)((z)在z解析,且y(zo)0):.z是f(z)的m级极点
0 1 ( ) z m f z “ ”，若 是 的 级零点，则(根据零点定义) 0 1 ( ) () ( ) m z z z f z () , ( ) 0 zz z 在 解析 且 0 0 0 0 0 11 1 () () ( ) () ( ) m m z z fz z zz z zz 当 时， () , ( ) 0 zz z 在 解析 且 0 0 0 z fz m 是 ( )的 级极点。 φ(z0)不等于0说明φ(z)无正z-z0乘项， φ(z)在z0解析说明φ(z)无负z-z0项
二是f(=)的m级极点z是的m级零点。f(=)z = 0与z =1均为f(z)= z(z-1)3的零点前例中又 f'(z) =(z-1)3 + 3z(z -1)2f"(z) = 6(z -1) +6z(z -1)f"(z) = 12(z -1)+6(z -1)+6z: f'(0) =(-1)" + 0. z=0为f(z)的一级零点f"(1)=6±0: f'(1)= 0f"(1)= 0:. z=1为f(z)的三级零点。1的一级极点和三级极点。则，z=0和z=1分别为f(z)
3 前例中 z z f z zz 0 1 ( ) ( 1) 与 均为 的零点。 f ( ) 12( 1) 6( 1) 6 zz z z 3 2 又 f z z zz ( ) ( 1) 3 ( 1) f (1) 0 2 f z z zz ( ) 6( 1) 6 ( 1) 3 (0) ( 1) 0 0 f z fz 为 ( )的一级零点 z fz 1为()的三级零点。 f (1) 0 f (1) 6 0 z z 0 1 f z 1 则， 和 分别为 的一级极点和三级极点。 ( ) 0 0 1 ( ) ( ) z fz m z m f z 是 的 级极点 是 的 级零点。