《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（4/5）

S5多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量XY，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命Z的分布。z = min(X,Y)1)2)z = max(X,Y)3)Z=X+Y这就是求随机变量函数的分布问题

1） §5 多维随机变量函数的分布 3） 在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的 分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命 分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。 Z  min( X,Y ) Z  max(X,Y ) Z  X  Y 这就是求随机变量函数的分布问题。 2） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布S5 多维随机变量函数的分布一般情形求随机变量函数分布的方法·和的分布·商的分布·极值分布

§5 多维随机变量函数的分布 •一般情形求随机变量函数分布的方法 •和的分布 •商的分布 •极值分布 第三章 多维随机变量及其分布

85多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布一1般情形问题已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为f（x，y），g（x，y）是二元连续函数，欲求随机变量Z=g(X,)的概率密度。解题步骤：先求随机变量函数Z=g(X，Y)的分布函数Fz(2)= P(z ≤z) = P(g(X,Y)≤z) =[[ (x,y)dxdyg(x,y)≤z再求随机变量函数Z =g(X，Y)的密度函数fz(2)= F2(2)

解题步骤： 先求随机变量函数Z  gX， Y 的分布函数,   f z F z. Z g X Y Z Z   再求随机变量函数  ， 的密度函数 §5 多维随机变量函数的分布 一、一般情形问题 已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。 FZ z  PZ  z  PgX,Y   z    g x y z f x y x y ( , ) ( , )d d 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例1设随机变量X与Y相互独立，X～N(o,1),Y～N(o,1)令z=x+y2，试求随机变量z的密度函数，解由题意，可知1e,xe(-8, +8)一fx(x)=2元121e2,ye(-, +o)fr(y):二12元由于X与Y是相互独立的，所以(X，Y)的联合密度函数为x"+y(x,，)=(-8<x, y<+8).02元

解     令 ，试求随机变量 的密度函数． 设随机变量 与 相互独立， ， ， ， ， Z X Y Z X Y X N Y N 2 2 ~ 0 1 ~ 0 1   由题意，可知   数 为 由 于X 与Y 是相互独立的，所以，X， Y 的联合密度函          , , 2 1 2 2 f x e x x X  §5 多维随机变量函数的分布 例1          , , 2 1 2 2 f y e y y Y             f x y e x y x y ， 2 ， 2 2 2 1  第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例1（续）所以，Z=X2+Y2的分布函数为F;(2)= P(z≤z)=P/x*+"≤z)Fz(2)- 0若z≤0，则Fz(2)=Px+y2≤z)若z>0，则x?+yr(x, ylaxdy-2edxdyx?+y?≤z/x?+y?≤z

所以，Z  X 2 Y 2 的分布函数为 FZ z  PZ  z   P X Y  z 2 2 若z  0，则 FZ z  0 若z  0，则 FZ z  P X Y  z 2 2        x y z f x y x y 2 2 ， d d       x y z x y e x y 2 2 2 2 d d 2 1 2  §5 多维随机变量函数的分布 例1（续） 第三章 多维随机变量及其分布