第五节函数的极值与最大值最小值极值及其求法1.2．最值的求法3．小结、作业1/18
第五节 函数的极值 与最大值最小值 1. 极值及其求法 2. 最值的求法 3. 小结、作业 1/18
一、极值及其求法定义若在某个U(x)上恒有f(x)<f(xo)(f(x)>f(x))成立,就称f(x)是f(x)的一个极大极小值)，x,为f(x)的一个极大值点(极小值点极大值（点)与极小值(点)统称为极值（点）。极值是函数的局部性质。2/18
一、极值及其求法 的一个 （ ） 。 就 称 是 的一个 （ ） ， 为 成 立 若 在某 个 上恒有 极大值点 极小值点 ( ) ( ) 极大值极小值 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) , ( ) 0 0 0 0 0 f x f x x f x f x f x f x f x U x o 定义 极大值 (点) 与极小值 (点) 统称为极值 (点) 。 极值是函数的局部性质。 2/18
例1指出如图所示函数的极值情况：yy=f(x)Xo XO X2 X3 X4 Xs X6 X XgXgxX10 X11 X123/18
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 例1 指出如图所示函数的极值情况： y=f(x) x y x0 O x11 x12 3/18
由费马引理设f (x)在点xo处可导，那末f (αx)定理1（必要条件）在xo处取得极值时必有f'(x）=0.注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的点，但驻点不一定是极值点由上知：f(x)的极值点只能是f(x)的驻点或f'(x)不存在的点。由导数符号与函数单调生之间的关系一4/18
设 f (x)在点 x0处可导，那末 f (x) 在 x0处取得极值时必有 f (x0 ) = 0 . 定理1(必要条件) 注意: . ( ) , 驻点不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 但 不存在的点。 由上知 : f (x)的极值点只能是f (x)的驻点或f (x) 由费马引理 由导数符号与函数单调性之间的关系 4/18
定理2（第一充分条件）设f(x)在xo连续、在xo左右邻近可导，则(1)如果x是f'的变号点，则xo是f的极值点，而且，当f左正右负时x为的极大值点；当f左负右正时xo为f的极小值点。(2)如果xo不是f的变号点，则x.不是f的极值点。若f(x)在Xo二阶可导，则可根据f"(xo）的符号情况判定xo是否为f的极值点。设f(x)在xo 点二阶可导，且定理3（第二充分条件）f(x)=0，f"(x)±0，那末(1)当f"(x)<0 时，f(x)在xo处取得极大值;(2)当f"(x)>0 时，f(x)在xo处取得极小值5/18
设 f (x)在 x0 连续、在 x0 左右邻近可导，则 (1) 如果 x0 是 f 的变号点，则 x0是 f 的极值点，而 且，当 f 左正右负时 x0为的极大值点；当 f 左负右正 时 x0为 f 的极小值点。 (2) 如果 x0 不是 f 的变号点，则 x0不是 f 的极值点。 定理2(第一充分条件) 若 f(x)在 x0 二阶可导，则可根据 f (x0)的符 号情况判定 x0是否为 f 的极值点。 设 f (x)在 x0 点二阶可导，且 f (x0 ) = 0 , f (x0 ) 0 , 那末 (1)当 ( ) 0 f x0 时, f (x)在 x0处取得极大值; (2)当 ( ) 0 f x0 时, f (x)在 x0处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 5/18