第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判定法一、二、、日曲线的凹凸与拐点HIGH EDUCATION PRESS下页返回结束机动目录上页
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
函数单调性的判定法一若f(x)>0f(x）在开区间I内可导定理1.设函数(f(x)<O),则 f(x)在I内单调递增(递减)证:无妨设 f(x)>0,xEI,任取 xi,X2I (xi<x2)由拉格朗日中值定理得f(x2)- f(xi) = f'()(x2 - xi) >0EE(xi,X2)CI故 f(xi)<f(x2).这说明 f(x)在I内单调递增证毕HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解: f'(x)=6x2 -18x+12 = 6(x-1)(x-2)令 f(x)=0,得 x=1,x=2(-80, 1)(1, 2)2(2, +8)1xf'(x)f(x)故f(x)的单调增区间为（-o0,1),(2,+0);f(x)的单调减区间为(1,2)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回机动结束目录
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点：例如, y=/x,xE(-00, +0)xV=0=8=O2）如果函数在驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y=x3,xE(-00,+00)y'= 3x2J|x=0 = 0HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束目录
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx元一时，成立不等式例2. 证明0<x≤2元X2sinx证: 令 f(x)=元x")上可导，且则f(x)在(0,")上连续,在(0,证x·cosx - sinxcos.x(x-tanx)<0f'(x)=1+tan x1因此f(x)在(0一)内单调递减处左连续,因此f(x)≥f又f(x)在"父sinx从而xE(0元北HIGH EDUCATION PRESS证明目录上页下页返回结束
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束