第四节函数展开成幂级数
1 第四节 函数展开成幂级数
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泰勒级数一、多8n-1 xZ(-1)"上节例题=ln(1+x) (-1<x≤1)nn=18存在幂级数在其收敛(x-x)"f(x)=22域内以f(x)为和函数n=0XX问题：1.如果能展开,αn是什么？2.展开式是否唯一？3.在什么条件下才能展开成幂级数？在处开成级2° 可-被3
3 一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U。(x)内具有任意阶导数且在U(x)内能展开成(x一x)的幂级数8Za,(x-xo)"即f(x) =n=0(x)(n=0,1,2,)且展开式是唯一的则其系数an
4 定理 1 如果函数 f (x)在 ( ) 0 U x 内具有任意阶导数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 则其系数 = = ( ) 0 1 ( ) ( 0,1, 2, ) ! n n a f x n n 且展开式是唯一的
定义如果f(x)在点x.处任意阶可导，则幂级数8(x)2x-x.)"称为f(x)在点x.的泰勒级数n!n=08(0)2称为f(x)在点x的麦克劳林级数n!n=08Zf(x)?问题n!n=0泰勒级数在收敛区间是否收敛于(x)？不一定5
5 如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定