高等数学 - 函数的微分

第五节函数的微分问题的提出7二、、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、*微分在近似计算中的应用八、小结、作业1/21

第五节 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、*微分在近似计算中的应用 八、小结、作业 1/21

一、1问题的提出一一近似计算问题实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。(Ax)ArJ设边长由x变到x。+△x，XArAx正方形面积 A=x,. A=(x +Ax)?-x)XA=xA= 2x · Ax +(Ax)2(1)(2)(1)：△x 的线性函数,，且为△A的主要部分：(2)：△x的高阶无穷小，当A很小时可忽略2/21

一、问题的提出——近似计算问题 实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。 2 0 A = x x0 0 x , 设边长由x0 变到x0 + x , 2  正方形面积 A = x0 2 0 2 0  A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2) x 的线性函数, 且为A的主要部分; x 的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 2/21

再如，设函数y=x3在点x.处的改变量为x时求函数的改变量yAy = (x + Ax)3 -x = 3x . Ax +3x ·(x)2 +(△x)3(1)(2)当△r很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x),既容易计算又是较好的近似值.. Ay ~ 3x, Ax.问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？3/21

再如, . , 0 3 y y x x x  =  求函数的改变量 设函数 在 点 处的改变量为 时 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0  x + x  x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y  x0  x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如 何求？ 3/21

二、微分的定义定义 设=f(x)在 U(x）上有定义，x+△xeU(xo)，如果 Ay=f(x+△x)-f(x)=A·△x +o(Ax) 成立(其中 A与△x无关)，则称=f(x)在x,可微，，并称A·△x为y=f(x)± f(x)|x=xo在 xo（相应于△r)的微分，记作dyx=x。或注：(1)绝对误差I△V-A·△x=o(△);Ay- A.Ar(2A≠0时，相对误差=0(1)，此时称A·Axdy=A·Ax为Ay的（线性）主部（此时Ay～dy）dy=df(x)=A·△r是x和△x的函数；(3)自变量x的微分dx=Ar.(4)4/21

二、微分的定义 定义 ( ) d d ( ) . ) ( ) A ( ) ( ) ( ) A ( ) ( A ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x y f x x y f x x x y f x y f x x f x x o x y f x U x x x U x  = =  =   =  = +  − =   +  = +   在 相应于 的 ，记作 或 无 关 ，则称 在 ，并称 为 果 成 立 其 中 与 设 在 上有定义， ， 如 微 分 可 微 注： (1) 绝对误差 | y - Ax |= o(x); 为 的 此 时 ； 时，相对误差 此时称 d A ( ~ d ) | (1) , A - A (2) A 0 | y x y y y o x y x =     =       (线性)主部 (3) dy = df (x) = Ax是 x 和x的函数; (4) 自变量x的微分 dx = x . 4/21

三、可微的条件定理 f(x)在 x可微台 f(x)在 x可导(且 A=f'(xo))证(1)必要性： f(x)在x,可微，: Ay = A·Ax +o(△x),Ay= A,=A +(Ar)，则limAr→0AxArAr即 f(x)在 x可导(且A=f'(x)).(2) 充分性Ay= f(xo) 存在,：f(x)在x可导，即limAr-0 △r=f(x)+o0(1)，从而 Ay=(x) x+o(Ax),Ar：f(x)在x可微．证毕5/21

三、可微的条件 ( ) ( ) ( A ( )). 0 0 x0 定理 f x 在 x 可 微 f x 在 x 可 导 且 = f  证 (1) 必要性 ( ) ,  f x 在 x0 可微  y = A  x + o(x), , ( ) A x o x x y   = +    =    → x y x 0 则 lim A , ( ) ( A ( )). 0 x0 即 f x 在 x 可导 且 = f  (2) 充分性 ( ) ( ), f (x0 ) o(1), 从而 y = f  x0  x + o x x y =  +    ( ) ,  f x 在 x0 可导 lim ( ) , 0 0 即 f x 存 在 x y x =     → ( ) .  f x 在 x0 可微 证毕 5/21