第四模块函数的积分学84-9微元法与定积分的应用第四模块函数的积分学应用数学第九节微元法与定积分的应用定积分的微元法一平面图形的面积三函数的平均值返回下一页
第四模块 函数的积分学 第九节 微元法与定积分的应用 一 定积分的微元法 二 平面图形的面积 三 函数的平均值
第四模块函数的积分学84-9微元法与定积分的应用应用数学定积分的微元法用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程第一步分割：将区间［a,b]任意分为n个子区间[x;-1,x;l(i= 1, 2, ..", n),其中 xo= a, xn= b.返回下一页
一 定积分的微元法 用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其 他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲 边梯形面积的过程. 第一步分割：将区间 [a, b] 任意分为 n 个子区 间 [ xi - 1 , xi ](i = 1, 2, ···, n)，其中 x0 = a，xn = b
第四模块函数的积分学84-9微元法与定积分的应用第二步取近似：在任意一个子区间「xi-1,x;l上，应用数学任取一点E，作小曲边梯形面积△A,的近似值AA; ~ f (S)Ax; -第三步求和：曲边梯形面积AA~Ef(5,Ax,.=第四步取极限：n→80，=max△x→0Zr(5,)Ax, - I' (x)dx.A= lim2-→0i=1上一页下一页返回
第二步取近似：在任意一个子区间 [ xi-1 , xi ]上， 任取一点 xi ，作小曲边梯形面积 Ai 的近似值， Ai f (xi )xi . 第三步求和： 曲边梯形面积 A ( ) . 1 i n i i A f x = x 第四步取极限： n→ ， = max{xi } → 0， lim ( ) ( )d . 1 0 A f x f x x b a i n i i = = = → x
第四模块函数的积分学4-9微元法与定积分的应用第二步取近似时其形式)Ax：，与第四步积分f(x)dx中的被积分式f ()dx具有类应用数学同的形式，如果把第二步中的与用x替代，Ari用dx替代，那么它就是第四步积分中的被积分式，基于此，我们把上述四步简化为两步：第一步选取积分变量，例如选取x，并确定其范围，例如xe[a,b]，在其上任取一个子区间记作[x,x+dx].第二步取所求量I在子区间[x,x+dxl上的部分量△I的近似值AI~f(x)dx,得I =I' f(x)dx.上一页下一页返回
如果把第二步中的 xi 用 x 替代， 中的被积分式 f (x)dx 具有类 同的形式， 第二步取近似时其形式 f(xi )xi ，与第四 步积分 f x x b a ( )d xi 用 dx 替代，那么它就是第四步积分中的被积分 式， 第一步选取积分变量，例如选取 x， 并确定 其范围，例如 x [a, b]， 在其上任取一个子区间 记作 [x, x + dx]. 第二步取所求量 I 在子区间 [x, x + dx] 上的部 分量 I 的近似值 I f (x)dx， 得 I f (x)dx. b a = 基于此，我们把上述四步简化为两步：
第四模块函数的积分学4一9微元法与定积分的应用几点说明：yy= f (x)(1）取近似值时，得到的应用数学是 f (x)dx 那样形式的近似值，并且要求 △I 一f (x)dx是dx的高阶无穷小量，关于后一个要求在实际问题中常oxxx + dxa常能满足。(2)满足（1)的要求后，f(x)dx是所求量I的微分，所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即dI= f (x)dx ,dI称为量「的微元上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.返回上一页
几点说明： (1) 取近似值时，得到的 是 f (x)dx 那样形式的近似 值，并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量，关于 后一个要求在实际问题中常 常能满足. (2) 满足 (1) 的要求后，f (x)dx 是所求量 I 的微分， 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即 dI = f (x)dx ， dI称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法. O a xx + dx x y = f (x) dA y