第四节定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法
第四节 定积分的换元积 分法与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元积分法定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=@(t)在[α,β]上是单值的且有连续导数；(3）当t在区间[α,β]上变化时，x=β(t)的值在[a,b]上变化，且(α)=a、(β)=b,则 有f" f(x)dx = F f[p(t)lp'(t)dt
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、定积分的换元积分法
证讠设F(x)是f(x)的一个原函数[" f(x)dx = F(b)- F(a),: Φ(t) = F[(t)ldFdx@'(t) =f(x)p'(t)= flp(t)lp'(t)dtdx:Φ(t)是f[(t)l'(t)的一个原函数[~ f[β(t)lp'(t)dt = Φ(β) -Φ(α),A
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
p(α)=a、Φ(β)=bΦ(β)-Φ(α) = F[(β)]-F[β(α)]= F(b)- F(a),[" f(x)dx = F(b) - F(a) = Φ(β) -Φ(α) flp(t)lp'(t)dt.注意当α>β时，换元公式仍成立合
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意：(1）用x =@(t)把变量x 换成新变量 时，积分限也相应的改变(2)求出f[p(t)]@'(t)的一个原函数Φ(t)后，不必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量 的上、下限分别代入Φt)然后相减就行了
应用换元公式时应注意: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变