积分第四章积分学主要包括不定积分和定积分求导: F'(x)=(?)互逆运算不定积分：（？）=f(x)定积分是一种特殊的和式的极限
第四章 积分 求导: F(x) = ( ? ) 不定积分: ( ? ) = f (x) 互逆运算 积分学主要包括不定积分和定积分. 定积分是一种特殊的和式的极限. 1
第一节原函数与不定积分的概念引例：一个质量为 m的质点,在变力 F=Asint的作下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t)FA加速度根据牛顿第二定律，a(t)sint一mm因此问题转化为A已知 v(t)==ssint,求v(t)=?m像这样从函数的导数(或微分)出发求原来的函数的问题是积分学的基本问题
引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 像这样从函数的导数(或微分)出发求原来的函数的问题 是积分学的基本问题. 2
定义1（原函数）.设函数f（x）在区间I上有定义若存在函数F(x)，使得在I上满足F'(x)= f(x) 或dF(x)= f(x)dx则称 F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原函数AAA如引例中二sint的原函数有cost +3.cos tmmm
定义 1 (原函数). 设函数 f (x)在区间 I 上有定义, 使得在 I 上满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A 若存在函数 F (x), 3
问题1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？定理1若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数初等函数在定义区间上连续故初等函数在定义区间上有原函数问题2.若原函数存在，它如何表示？定理2若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)仍是f(x)的原函数,而且f(x)的任何原函数都可以表成 F(x)+C 的形式
问题1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 定理1 存在原函数 . 故初等函数在定义区间上有原函数. 初等函数在定义区间上连续, 问题2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理2 都可以表成 的形式. ( ) ( ) , C f x 为任意常数 仍是 的原函数 而且f x( )的任何原函数 4
证: 1) : (F(x)+C)'=F'(x) = f(x):.F(x)+C是 f(x)的原函数2)设G(x)是f(x)的任一原函数，即G'(x)= f(x)F(x)= f(x)又知:: [G(x)-F(x)}’=G'(x)-F(x) = f(x)- f(x)=0可证：若一个函数的导数恒等于0.则这个函数一定是常数故G(x)= F(x)+C。(Co为某个常数)它属于函数族 F(x)+C
证: 1) 又知 − [ ( ) ( )] G x F x = − G x F x ( ) ( ) =−= f x f x ( ) ( ) 0. 故 0 G x F x C ( ) ( ) = + ( ) C0 为某个常数 它属于函数族 F(x) + C . 即 可证: 若一个函数的导数恒等于0, 则这个函数一定是常数. 5