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2017/9/27 1 2.3 两个重要极限 关于PPT课件, 可进入如下网址链接访问: 或者
第一个重要极限函数的极限存在的迫敛定理准则丨如果有(l) g(x)≤f(x)≤h(x), (0<x-a<8, S>0(2) limg(x) = A, limh(x) = A,x-→ax->alim f(x)存在，且等于 A.那末x→a准则称为迫敛定理或两边夹定理)2017/9/27
2017/9/27 2 准则Ⅰ 如果有 (1) ( ) ( ) ( ), (0 | | , 0) (2) lim ( ) , lim ( ) , x a x a g x f x h x x a g x A h x A → → − = = 那末lim ( ) x a f x → 存在, 且等于 A. 准则 I称为迫敛定理(或两边夹定理). （一）第一个重要极限 函数的极限存在的迫敛定理
下面利用迫敛定理证明一个重要的极限：Bsinxlim1x-→0x1D元设单位圆O.圆心角ZAOB=x，(0<x<-2作单位圆的切线，得△ACO.扇形OAB的圆心角为x，△OAB的高为BD于是有sinx= BD， tan x= AC,显然SAAOB<S,<sAAOC扇AOBtanx, .:. sinx<x<tanx,即 0<二sinx<-x<2222017/9/273
A C ) 2 , , (0 设单位圆O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, 下面利用迫敛定理证明一个重要的极限: 1 sin lim 0 = → x x x 显 然 S AOB S 扇 AOB S AOC , 即 x x tan x 2 1 2 1 sin 2 1 0 , sin x x tan x, 2017/9/27 3
sinx < x <tanxsinx<1.cosx <x元上式两者均为偶函数，故当<x<0时，上式也成立,2匹时,先证lim cosx=1. 当0<xl2x-00<1-cosx = 2 sin2*X2>0222lim cos x = 1由迫敛定理,得 lim(1-cos x)=0，x-→0x-→0sinxsin xlim再对 cosx<即得1<1 利用迫敛定理,x-→0xx2017/9/27
sin x x tan x 1, sin cos x x x , 2 当 0 时 x 0 1−cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x 0 2 2 = → x 上式两者均为偶函数,故当 0 2 − x 时,上式也成立. 先证 lim cos 1 0 = → x x . 由迫敛定理,得 lim (1 cos ) 0 0 − = → x x , lim cos 1 0 = → x x 再对 1 sin cos x x x 利用迫敛定理, 即得 1 sin lim 0 = → x x x . 2017/9/27 4
sin xlimx→0x即(x→0)sinx ~ xsinxVsinx思考：limx-→00x2017/9/27
x x y sin = 即 sin x x x ~ ( 0) → 1 sin lim 0 = → x x x . ? sin lim = → x x x 思考： 2017/9/27 5