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第五模块 微积分学的应用 第四节 二阶常系数线性微分方程
85-4二阶常系数线性微分方程第五模块微分方程应用数学一 自由项f(x)为多项式P,(x)设二阶常系数线性非齐次方程为y" + py' + qy = Pn(x),?其中 P,(x)为x的 n 次多项式因为方程中 p、g均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设③式的特解为y*=xhQ,(x),其中 Q,(x)与P,(x)是同次多项式，当原方程③中y项的系数q≠0时，k取0；当=0，但p0时，k取l；当p=0，q=0时，k取2.返回上一页下一页
一 自由项 f (x) 为多项式 Pn (x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Pn (x), 其中 Pn (x) 为 x 的 n 次多项式. ( ), * y x Qn x k = 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2. ⑥ 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的 特解为 其中 Qn (x) 与 Pn (x) 是同次多项式
85-4二阶常系数线性微分方程第五模块微分方程例5求方程y"-2'+y=x2的一个特解应用数学解因为自由项f(x）=x2是x的二次多项式且y的系数g=1±0，取k=0．所以设特解为y" = Ax? + Bx+C,则y*' = 2Ax + B, y*'= 2A,代入原方程后，有Ax2 +(-4A+ B)x+(2A-2B+C)= x2上一页下一页返回
例 5 求方程 y - 2y + y = x 2 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x 2 是 x 的二次多项式， , * 2 y = Ax + Bx +C 则 y* = 2Ax + B, y* = 2A, 代入原方程后，有 ( 4 ) (2 2 ) . 2 2 Ax + − A+ B x + A− B+C = x 且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 . 所以设特解为
85-4二阶常系数线性微分方程第五模块 微分方程比较两端x同次幂的系数，有应用教学[A=1,-4A+B=0,2A-2B+C=0.解得A=1, B=4, C=6故所求特解为y* = x2 +4x+6.上一页返回下页
比较两端 x 同次幂的系数，有 − + = − + = = 2 2 0. 4 0, 1, A B C A B A 解得 A = 1，B = 4，C = 6. 故所求特解为 4 6. * 2 y = x + x +
85-4二阶常系数线性微分方程第五模块微分方程例6求方程y"+y=x-x+1的一个特解应解因为自由项f(x)=x3-x+1是一个x的三所以设方程的特解为y* = x(Ax3 + Bx2 +Cx+ D).则y*" = 4Ax3 +3Bx2 +2Cx + D,y*" = 12Ax2 +6Bx +2C,代入原方程后，有4Ax3 +(12A+3B)x2 +(6B +2C)x +(2C + D)= x3 -x+1.上一页下页返回
例 6 求方程 y + y = x 3 – x + 1 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x 3 – x + 1 是一个 x 的三 次多项式， * ( ). 3 2 y = x Ax + Bx +Cx + D 则 * 4 3 2 , 3 2 y = Ax + Bx + Cx + D * 12 6 2 , 2 y = Ax + Bx + C 代入原方程后，有 4 (12 3 ) (6 2 ) (2 ) 3 2 Ax + A+ B x + B+ C x + C + D 1. 3 = x − x + 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1. 所以设方程的特解为