第七章第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程大伯努利方程二、HIGHER EDUCATIONPRESS返回结束自录上页下页
目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章
一、一阶线性微分方程dy+ P(x)y= Q(x)一阶线性微分方程标准形式dx若 Q(x)= 0,称为齐次方程若 Q(x)丰 0,称为非齐次方程dy+ P(x)y= 01.解齐次方程山= -P(x)dx分离变量y两边积分得In|y|=-{ P(x)dx + In|Cy=Ce-[P(x)dx故通解为HIGHER EDUCATIONPRESS上页下页返回结束自录
目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y C ( )d e − = 称为齐次方程 ;
dy:+ P(x)y=Q(x)2.解非齐次方程dx(x)=u(x)e-[P(x)dx则作变换用常数变易法u'e-JP(x)dx-P()ue f(n)dx+ P()re fr(0)dx=(x)du(r)e/ P(x)dx即二dxJo(x)e/ P(r)dxddx+C两端积分得u=故原方程的通解 =-P(n)dx[[(x)e/ Po)dx+c[ P(x)dxdxy= Ce-[P(x)dx +e-[P(x)dx[Q(x)e]即齐次方程通解非齐次方程特解HIGHER EDUCATIONPRESS目录返回结束上页下页
目录 上页 下页 返回 结束 − = P x x y C ( )d 对应齐次方程通解 e 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x C ( )d e 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( )e , ( ) − = P x x y x u x d 则 − P x x u ( )d e + P(x) − P x x u ( )d e = Q(x) 故原方程的通解 Q x x P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d − + = + − y Q x x C P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u ( )d ( ) e u Q x x C P x x = + ( )e d ( )d 两端积分得
2ydy(x +1)例1.解方程dxx+12dx2ydydy=0,即解：先解x+1dxx+1V积分得 ln|=2ln|x+1|+lnC|,即 y=C(x+1)令 y=u(x)·(x+1)2, 则用常数变易法求特解y' = u'.(x+1l)? +2u·(x+l)u'=(x+l)/代入非齐次方程得2解得+C(x+1)u=?(x +1)/2 + C =(x+l)故原方程通解为一HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 令
R例2.有一电路如图所示其中电源电阻R和电电动势为E=Emsinのt,感L 都是常量,求电流i(t)解：列方程.由回路电压定律在闭合回路中，所有支路上的电压降为0已知经过电阻R的电压降为Ridi经过L的电压降为1dtdiREmsinotdi因此有即E-IRi=0.dtLdt初始条件：0=0HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例2. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R Q 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 t i L d d 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 初始条件: 0 i t = 0 = 由回路电压定律: 其中电源 感 L 都是常量, 求电流