第三模块函数的微分学83-3复合承数的导数应用数学第三模块函数的微分学第三节复合函数的导数一、复合函数的求导法则二、复合函数的求导举例返回下一页
第三节 复合函数的导数 一、复合函数的求导法则 第三模块 函数的微分学 二、复合函数的求导举例
第三模块函数的微分学83-3复合承数的导数一、复合函数的求导法则应用数学定理2 设函数y=f(u)， u=(x)均可导则复合函数y=f(p(x）也可导且y', = yh-ul,或或yk = f(u)p'(x)dydydudxdu dx上一页返回下页
一、复合函数的求导法则 定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且 y x = f (u)(x)， . d d d d d d x u u y x y = y x = y u u x， 或 或
第三模块函数的微分学3-3复合函数的导数证设变量x有增量Ax，相应地变量u有应用数学增量Au，从而 y有增量 Ay.由于 u 可导，所以 lim Au=0Ar-0AuAyAy（会）limJim= limlimAr-0 △u4r-→>0AxAr-→0AxAx-0Ayulimlim= y'hu,二Au-0 △u Ar-0 Ax即y's=yhus.上一页下页返回
= → → x u u y x y x 0 x 0 lim lim x u u y x x = →0 →0 lim lim u x ， u x y u x u u y = = →0 →0 lim lim . x u ux y = y 即 证 设变量 x 有增量 x， lim 0. 0 = → u x 所以 由于 u 可导， 相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y
第三模块函数的微分学83-3复合承数的导数应用数学推论 设 =f(u)， u=(v)， =(x)均可导，则复合函数y=f[(y(x)I也可导，且y', = y'u,vs上一页返回下页
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导， . x u v x y = y u v 且
第三模块函数的微分学63-3复合函数的导数二、复合函数求导举例应用数学例 1 设y=(2x+1)5，求y解 把 2x+1看成中间变量u，将 y=(2x +1)5看成是y=us, u= 2x + 1复合而成，由于y', =(u')= 5u*,u, =(2x +1) = 2.所以yk = y, ·u= 5u .2 = 10(2x + 1)*上一页下一页返回
例 1 设 y = (2x + 1) 5，求 y . 解 把 2x + 1 看成中间变量 u， y = u 5 ，u = 2x + 1 复合而成， ( ) 5 , 5 4 y u = u = u u = (2x +1) = 2. x 所以 5 2 10(2 1) . 4 4 y x = y u u x = u = x + 将 y = (2x + 1)5 看成是 由于 二、复合函数求导举例