高等数学 - 微分

3.4 微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用

3.4 微分 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 一、微分的概念 1

一．微分的概念在实际问题中经常遇到当自变量有一个微小的改变量时需要计算函数相应的改变量引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,则面积为x的函数S=S(x)=x2,当x在xo取得增量△x时，面积函数的增量为XoAxAxAxAS = S(x +△x)- S(x)=(x +Ax)? - xoS=xXo4Ax=2xo△r +(4x)xo关于△x的△x→0时为高阶无穷小线性主部故当|△x|很小时,△S~ 2x△x

引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x ,则面积为 x的函数 2 S S x x = = ( ) , 0 x x 面积函数的增量为 x x 0 2 0 S x = x x 0 2 ( ) x 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 当 x 在 0 x 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 , , . 在实际问题中 经常遇到当自变量有一个微小的改变量时 需要计算函数相应的改变量 取得增量x时, 2 2 0 0 = +  − ( ) x x x 一. 微分的概念 2 当 很小时 | | , x

定义(微分)：若函数 =f(x)在点xo的增量可表示为△y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x +o(△x)其中 A为不依赖于△x 的常数，o(Ax)是△x的高阶无穷小，则称函数 =f(x)在点xo可微,而 A△x称为f(x)在或df(x）即点xo的微分，记作dy-马dyl= A△x1x=Xo定理：函数y=f(α)在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo),即d ylx = f'(xo)Ar

的微分, 在点 x0 的增量可表示为 其中 A 为不依赖于△x 的常数, 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 0 d x x y A x = =  定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 0 0 d ( ) . x x y f x x = =   在点 可微, o x x (  )是 的高阶无穷小, 3 定义(微分): 若函数 0 d x x y = 或df x( 0 )

定理：函数y=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo)，即d ylx=xo= f'(x)Ax.=X证：“必要性”已知y=f(x)在点xo可微，则△y= f(xo +△x) - f(xo) = A△x +o(△x)o(△x)Aylim (A+limA△xAx-→>0 △x△x->0故=f(x)在点xo可导,且f(xo)=A

证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 4 0 0 d ( ) . x x y f x x = =   定理: 函数

定理：函数y=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo)，即d ylx=x = f'(xo)Ax.已知=f(x)在点xo可导，则“充分性”Ay= f'(xo)limAx-→>0 △xAy= f'(xo)+α(limα=0)Ax4x->0故 Ay= f(xo)△x+α△x = f'(xo)△x +o(△x)f(x)±0时此项为4y的即dyl==f(x)Ax线性主部5

“充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x 即 0 0 d ( ) . x x y f x x = =   在点 可导, 则 5 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 0 0 d ( ) . x x y f x x = =   定理: 函数