第三节定积分的换元法和分部积分法1.换元公式2.分部积分公式3. 小结、作业1/24
第三节 定积分的换元法 和分部积分法 1. 换元公式 2. 分部积分公式 3. 小结、作业 1/24
根据微积分基本公式不定积分法定积分法且使用方法与相应的不定积分法类似2/25
根据 微积分基本公式 不定积分法 定积分法， 且使用方法与相应的不定积分法类似。 2/25
一、换元公式定理设 (1) f C(a,b), (2) βEClαa,βl,(3) p在[α,β]上单调且p([α,βI) =[a,b]则有(1)e f(p(x) ·p'(x)dx = f f(o(x)dp(x)u=p(x)rp(β)("f(u)du 或f(u)du =("f(u)du ;=Jp(α)x=(t)（bo)"f(x)dx1 () f(p(t)dp(t)Lo(2)二Je (p(t) p'(t) dt 或 = , f(p(t) '(t) dt .3/25
一、换元公式 1 , C[a, b] 设 （）f = 则有(1) f ((x)) (x)dx 2 [ , ], 1 （ ） C （3） 在[, ]上单调且([, ]) =[a, b]. f ((x))d(x) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) f u du u x b a f (u)du 或 a b f (u)du ; = = b a x t f x dx ( ) (2) ( ) − − ( ) ( ) 1 1 ( ( )) ( ) b a f t d t = f ((t)) (t) dt 或 = f ((t)) (t) dt . 定理 3/25
证设F(x)是f(x)的一个原函数;则( f(x)dx = F(b) - F(a); 令 Φ(t) = F[p(t)l,dF dx则 @Φ(t)== f(x)p'(t) = f[p(t)lp'(t),dxdt:. Φ(t)是,f[p(t)]p'(t)的一个原函数. f f[g(t)lp'(t)dt = Φ(β) -Φ(α)= F(o(β) - F(0(α) = F(b) - F(a) = f" f(x)dx或 = F(a)- F(b)= (f(x)dx. 证毕4/25
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a); b a = − 则 令 (t) = F[(t)], dt dx dx dF 则 (t) = = f (x)(t) = f[(t)](t), [( )] ( ) ( ) () f t t dt = − (t)是 f[(t)](t)的一个原函数. = F(( )) − F(()) = F(b) − F(a) = b a f (x)dx 或 = F(a) − F(b) = a b f (x)dx. 证毕 4/25
注意：（1）换元前后，上限对上限、下限对下限;（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着。6u=cosx元例1cos' xsinxdx=-bT≤2以cosx为积分变量或[2 cosxd cosxcosxsinxdx=10元x 12cos一65/25
注意: （2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的 变量记号，积分限跟着变。 例1 2 0 5 cos sin x xdx u=cos x = 1 0 6 6 u = . 6 1 = − 0 1 5 u du 2 0 5 cos sin 或 x xdx以cos x为积分变量 = − 2 0 5 cos cos xd x 2 0 6 cos | 6 1 = − x . 6 1 = （1）换元前后，上限对上限、下限对下限； 5/25