3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 定义：设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义，若极限 lim f(x+△x)-f(x) 存在，则称函数y=f(x)在点x,处 △x→0 △x 可导，其极限值称为函数y=f(x)在x,处的导数或微商，记为 df(x) d dr x=x0 导数的几何意义：切线的斜率 y=f(x) T f(xo)=tana 切线方程为： y-f(xo)=f(xo)(x-xo) X 6
6 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 设函数 在点 的某个邻域内有定义，若极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x 定义： 存在，则称函数 其极限值称为函数 记为 在点 处 可导， 在 处的导数或微商， 导数的几何意义： 切线的斜率 0 f x ( ) tan 切线方程为： 0 0 0 y f x f x x x ( ) ( )( )
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 导数存在的条件 f'(x)=lim f(x+△x)-f(xo) 导数 △x>0 △x ()lim f(x+△x)-f(x) 左导数 Ar->0 △x fx) lim f(x+△x)-f(x) 右导数 Ax→0 △x 定理：函数f(x)在x处可导的充要条件是它的左、右导数存在 且相等。 7
7 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 左导数 右导数 定理：函数 在 处可导的充要条件是它的左、右导数存在 导数存在的条件 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x f x( ) 0 x 且相等. 导数
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 命题：函数在某点可导，则一定在此点连续，反之不然.即： 可导 连续 证明：若f(x)在x可导，则f'()=1im f(x+△)-fx存在 △x→0 △x 于是limf(x+△x)-f(x,)=1i f(x+△x)-f(xo).Ax △x→0 △x =f'(xo)·lim Ax=0.即f(x)在x处连续 △x>0 例：1.f(x)=|x在x,=0处连续，但不可导 8
8 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 命题：函数在某点可导，则一定在此点连续，反之不然. 即： 证明：若 在 可导，则 可导 连续 存在, 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim x x f x x f x f x x f x x x 0 0 '( li ) m x f x x 0. 即 在 处连续. 于是 例：1. 在 处连续，但不可导