第四章不定积分微分法：F'(x)=(？?）互递运算积分法：(?)=f(x)
第四章 微分法: F x ( ) ( ? ) = 积分法: ( ? ) ( ) = f x 互逆运算 不定积分
第一节不定积分的定义和性质一、原函数与不定积分的概念二、 基本积分表三、不定积分的性质四、小结
第一节 不定积分的定义和性质 • 一、原函数与不定积分的概念 • 二、基本积分表 • 三、不定积分的性质 • 四、小结
一、原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即Vx I,都有F'(x)= f(x)或dF(x)= f(x)dx，那么F(x)就称为f(x)或f(x)dx在区间内的原函数例(sinx)= cosxsin x是cos x的原函数(ln x)= =(x>0)x11:Inx是在区间(0,+8)内的原函数x
例 (sin ) cos sin cos . x x x x = 是 的原函数 1 (ln ) ( 0) 1 ln (0, ) . x x x x x = + 是 在区间 内的原函数 ( ) 1.定义： ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I = = 如果在区间 内，可导函数 的 导函数为 即 都有 或 ，那么 就称为 或 在区间 内的原函数. 一、原函数与不定积分的概念
问：函数具备什么条件才有原函数？原函数存在定理：如果f(x)在区间内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使Vx I，都有F'(x)= f(x).简言之：连续函数一定有原函数问题：（1)原函数是否唯一?(2)若不唯一它们之间有什么联系？例 (sin x)= cosx(sin x +C)'= cos x(C为任意常数）
原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin ) cos (sin ) cos ( ) x x x C x C = + = 为任意常数 (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 问：函数具备什么条件才有原函数？ ( ) ( ) ( ) ( ). f x I I F x x I F x f x = 如果 在区间 内连续，那么在区间 内存在 可导函数 ，使 ，都有
关于原函数的结论：(1)若F'(x)= f(x)，则对于任意常数CF(x)+C都是f(x)的原函数(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数则F(x)-G(x)=C,(C为任意常数)证：: [F(x)-G(x)} = F'(x)-G(x)= f(x)- f(x)= 0(C为任意常数）F(x)-G(x)=C
关于原函数的结论： (1) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x C F x C f x = + 若 ，则对于任意常数 ， 都是 的原函数， (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x G x f x F x G x C C − = 若 和 都是 的原函数， 则 ， 为任意常数 证 F(x) − G(x) = F(x) − G(x) = f (x) − f (x) = 0 − = F x G x C C ( ) ( ) ( ) 为任意常数