复变函数3.偏积分法如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西一黎曼方程求得它的共轭调和函数"从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法例1 证明u(x,y)=3-3x2y为调和函数,并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数钢a'u1解因为=-6xy=-6y,ax?a'u3y2-3x2,6y二ay2u
6 3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法. 解 例1 . ( , ) ( , ) 3 , 3 2 数 其共轭调和函数 和由它们构成的解析函 证明 为调和函数 并求 v x y u x y = y − x y 6xy, x u = − 因为 6 , 2 2 y x u = − 3 3 , 2 2 y x y u = − 6 , 2 2 y y u =
复变函数a'ua'u于是0.故u(x,y)为调和函数X12axayQuav因为=-6xy,ayaxV= -6[ xydy= -3xy2 + g(x),av3= -3y2 + g'(x),axavQu又因为=-3y2 +3x2axayu
7 0, 2 2 2 2 = + y u x u 于是 故 u(x, y)为调和函数. 6xy, x u y v = − = 因为 v = −6 xydy 3 ( ), 2 = − xy + g x 3 ( ), 2 y g x x v = − + y u x v = − 又因为 3 3 , 2 2 = − y + x