例:定义在区间[a,b]上的全体实连续函数的全体 所组成的集合,对函数的加法和 数与函数的数量乘法,构成实数域上 的线性空间,记为C[a,b] f(x)+g(x)=h(x),新函数h(x)也是定义在 区间|a,b上的实连续函数,即是C[a,b]的元素 加法满足封闭性 k·f(x)=d(x),新函数d(x)也是定义在 区间[a,b上的实连续函数,是C[a,b的元素 乘法满足封闭性 另外,满足八条线性运算性质, >所以,构成实数域上的线性空间
例：定义在区间 [a,b]上的全体实连续函数的全体 所组成的集合，对函数的加法和 数与函数的数量乘法，构成实数域上 的线性空间，记为 C[a,b]. ➢ f(x) + g(x) = h(x)，新函数h(x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数，即是C[a,b]的元素 —— 加法满足封闭性 ➢ k﹒f(x) = d(x)，新函数d (x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数，是C[a,b]的元素 —— 乘法满足封闭性 ➢ 另外，满足八条线性运算性质, ➢ 所以，构成实数域上的线性空间
线性空间的简单性质 1.在线性空间中,零元素是唯一的 证明:假设01和O2是线性空间V中有两个零元素, 则对于任意a∈V,满足 a+0,=C.+0 由于012O2∈, 所以02+01=02,O1+02=01 →01=01+02=02+01=02
1．在线性空间中，零元素是唯一的. 0 , 0 . + 1 = + 2 = 由于 0 ,0 , 1 2 V 所以 0 0 0 , 0 0 0 . 2 + 1 = 2 1 + 2 = 1 0 0 0 0 0 0 . 1 = 1 + 2 = 2 + 1 = 2 线性空间的简单性质 证明：假设 01和 02 是线性空间 V 中有两个零元素， 则对于任意α∈V ，满足
在线性空间中,负元素是唯一的 证明:假设a有两个负元素β与γ,那么 a+B=0,a+y=0. 则有B=B+0=B+(a+y) =(B+a)+y 0+ 所以,负元素是唯一的 向量的负元素记为-a
2．在线性空间中，负元素是唯一的 证明：假设α有两个负元素β与γ，那么 + = 0, + = 0. 则有 = + 0 = + ( + ) = ( +) + = 0 + = . 向量 的负元素记为 −. ➢ 所以，负元素是唯一的
3.0a=0;(-1)x=-a;0=0. 证明a+0a=1a+0a=(1+0yx=1a=a, 0a=0 a+(-1)a=la+(-1)k=[1+(-1)k=0a=0, =-a 4.如果a=0,则九=0或a=0
3. 0 = 0; (−1) = −; 0 = 0. 证明 + 0 = 1 + 0 = (1+ 0) = 1 =, 0 = 0. + (−1) = 1 + (−1) = 1+ (−1) = 0 = 0, (−1) = −. 4．如果 = 0 ，则 = 0 或 = 0
由于线性空间与n元向量空间有许多 本质上相同的性质, >人们经常把线性空间称为向量空间 (vector space) 把线性空间中的元素称为向量
➢ 由于线性空间与 n 元向量空间有许多 本质上相同的性质， ➢ 人们经常把线性空间称为向量空间 (vector space) ， ➢ 把线性空间中的元素称为向量