定义4.1:设V是一个非空集合,P为一数域, 如果以下三个条件被满足,则称非空集合V是数 域P上的一个线性空间 (I)在V的元素间给出一个法则,称为加法, 使V中任意两个元素a与β,总有唯 确定的一个元素y与之对应, 称为a与β的和,记作y=a+B (II)在V的元素间给出一个法则,称为数量乘法, 使数域P中任意一数k与V中任意一个元素 a,在V中总有唯一确定的一个元素8与之对应, 称为k与a的数量乘积,记作8=ka
定义 4.1:设 V 是一个非空集合， P 为一数域， 如果以下三个条件被满足，则称非空集合V 是数 域 P 上的一个线性空间. (I)在 V 的元素间给出一个法则，称为加法， 使 V 中任意两个元素α与β，总有唯一 确定的一个元素 γ 与之对应， 称为 α与β的和，记作 γ= α+β. (II)在 V 的元素间给出一个法则，称为数量乘法， 使数域 P 中任意一数 k 与V 中任意一个元素 α，在V 中总有唯一确定的一个元素δ与之对应， 称为 k 与α的数量乘积，记作 δ = kα
(II)对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下8种运算规律(公理) (1)a+B=B+a(2)(+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 ()k(a+B)=ka+ kB (6(k+l)a=ka+la (7 (kl)a=k(la) (8)I·a >当P为实数域R时,则称此线性空间为实线性空间 >当P为复数域R时,则称此线性空间为复线性空间
(III) 对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下 8 种 运算规律(公理) (1) + ＝ + (2) ( + ) + ＝ + ( + ) (3) + 0 ＝ (4) + (－ ) ＝ 0 (5) k ( + ) ＝ k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l ) (8) 1· = ➢ 当 P 为实数域 R 时，则称此线性空间为实线性空间. ➢ 当 P 为复数域 R 时，则称此线性空间为复线性空间
说明 1.凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算, 称为线性运算 2.判别线性空间的方法:一个集合,它如果 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性); 或者,不满足八条运算性质的任一条 则不能构成线性空间
2 ．判别线性空间的方法：一个集合，它如果 说明 1． 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算， 称为线性运算． ➢ 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性)； ➢ 或者，不满足八条运算性质的任一条； 则不能构成线性空间．
例:数域P上的全部n元向量所组成的集合,按n元 向量的加法和数乘运算构成数域P上的线性空间, 记作Pn,称为n元向量空间 P取实数域R,n=3,则R3就是大家熟悉的 三维几何空间 例:实数域上全体mXn阶矩阵的集合,对矩阵的加法 和数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间,记作RmXn 4…+B ZA xn nxn mxn g nXn mens 另外,满足八条线性运算性质 Rm×是一个线性空间 ●
例： 实数域上全体 m×n 阶矩阵的集合，对矩阵的加法 和数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间，记作 R m×n ． , Amn + Bmn = Cmn , Amn = Dmn 是一个线性空间. m n R 例：数域 P 上的全部 n元向量所组成的集合，按 n 元 向量的加法和数乘运算构成数域 P 上的线性空间， 记作 P n ，称为 n 元向量空间． ➢ P 取实数域 R ，n=3 ，则 R 3 就是大家熟悉的 三维几何空间． ➢ 另外，满足八条线性运算性质
例:数域P上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合,按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法 构成数域P中的线性空间,记作Px 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律 例如次数不大于n的一元多项式: (anx"+…+a1x+a0)+(bnx+…+b1x+b) =(an+bn)xn+…+(a1+b1)x+(a0+b0)∈Pxln 孔(anx"+…+a1x+a0) =(an)x"+…+(a1)x+(a0)∈Pxn 另外,满足八条线性运算性质, >所以,构成数域P中的线性空间
➢ 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律： ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x] n ( ) a x a1 x a0 n n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = n ++ + P[x] n 例：数域 P 上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合，按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法， 构成数域 P 中的线性空间，记作 P [x] ． 例如次数不大于 n 的一元多项式： ➢ 另外，满足八条线性运算性质, ➢ 所以，构成数域 P 中的线性空间