a1+a2-43=0 故a,a2,a,线性相关。 例3设向量组a,a2,a线性无关，而B,=a+a2，B2=a,+a, 月=C+a,试证向量组月，B,B也线性无关。 定理1向量组a,a2,.,a线性相关的充分必要条件是其中至少有一个 向量可由其余向量线性表示。 证[充分性]已知向量组a,a,.,an中有一个向量，不妨设am,可由 其余向量线性表示，即存在一组数k,k,.,k,使得 am=k a +ka+.+k a 于是有 am=kja +h2a2+.+kma+(-1)am=0 由于am的系数为-1≠0，故向量组a1,a2,.,am线性相关。 [必要性]已知向量组a,4,.,am线性相关，于是存在一组不全为零的数 k,k,.,k,使得 k a+ka2+.+am+ka=0 不妨设k.≠0，则 a=-k 即am可由a,a,.,an线性表示。 由定理1可知，方程组 [a+a22+.+amxn=0 a2+a22+.+a2nxn=0 anx+an2x2+.+dx=0 中有多余方程的充要条件是向量组a,a,.,an线性相关。而保留方程组
1 + 2 − 3 = 0 故 1 2 3 , , 线性相关。 例 3 设向量组 1 2 3 , , 线性无关，而 1 =1 +2 ， 2 = 2 + 3 ， 3 =3 +1 ，试证向量组 1 2 3 , , 也线性无关。 定理 1 向量组 m , , , 1 2 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个 向量可由其余向量线性表示。 证 [充分性] 已知向量组 m , , , 1 2 中有一个向量，不妨设 m ，可由 其余向量线性表示，即存在一组数 1 2 1 , , , m k k k − ，使得 m = k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 于是有 m = k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 + (−1) m = 0 由于 m 的系数为 − 1 0 ，故向量组 m , , , 1 2 线性相关。 [必要性] 已知向量组 m , , , 1 2 线性相关，于是存在一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k ，使得 k11 +k2 2 ++ km−1 m−1 + km m = 0 不妨设 0 m k ，则 1 1 2 2 2 1 1 − − = − − − − m m m m m m k k k k k k k 即 m 可由 m , , , 1 2 线性表示。 由定理 1 可知，方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 中有多余方程的充要条件是向量组 m , , , 1 2 线性相关。而保留方程组
a+az2+.+ax。=0 a1+am2+.+a2mxn=0 a+a,22+.+=0 不含多余方程的充要条件是向量组a,a2,.,am线性无关。 定理2设a,a,.,an线性无关，而a,a,.,am,B线性相关，则B能 由a,a2,.,a线性表示，且表示式是唯一的。 证由于a,a,.,m,B线性相关，于是存在一组不全为零的数 k,k,.,k,k,使得 kia1 +k2a2+.+kmam-i+kam+kB=0 要证B能由么，a,a线性表示，只需证明k≠0即可。采用反证法，假设 k=0,则k,k,.,k不全为零，且有 k a+k2a2+.+kmam+kam=0 这与已知a,g,.,an线性无关矛盾，故k≠0，从而B能由a,a,.,an线 性表示 下证唯一性，设有下面两个表示式同时成立 B=九a+,a2t.+Lm-iam-l+na B=+++um-ia+Lm am 两式相减，得 (亿-4)a1+(亿，-4)a+.+(亿n-1-4m-iam-1+(亿n-4m)an=0 由已知a,4,.,an线性无关可知，-4=0，即=4 (i=1,2,.,m). 定理3若向量组a,%2,a,线性相关，则向量组 a1,g2,.,C,C1,.,am也线性相关
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 不含多余方程的充要条件是向量组 m , , , 1 2 线性无关。 定理 2 设 m , , , 1 2 线性无关，而 1 , 2 , , m , 线性相关，则 能 由 m , , , 1 2 线性表示，且表示式是唯一的。 证 由 于 1 , 2 , , m , 线 性相 关， 于是 存在 一组 不全 为零 的 数 1 2 , , , , m k k k k ，使得 k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 + km m + k = 0 要证 能由 m , , , 1 2 线性表示，只需证明 k 0 即可. 采用反证法，假设 k = 0 ，则 1 2 , , , m k k k 不全为零，且有 k11 +k2 2 ++ km−1 m−1 + km m = 0 这与已知 m , , , 1 2 线性无关矛盾，故 k 0 ，从而 能由 m , , , 1 2 线 性表示。 下证唯一性，设有下面两个表示式同时成立 = 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 + m m = 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 + m m 两式相减，得 (1 − 1 )1 + ( 2−2 ) 2 ++ ( m−1 − m−1 ) m−1 + ( m − m ) m = 0 由已知 m , , , 1 2 线 性 无 关 可 知 ， 0 i i − = ， 即 i i = （ i m =1, 2 , , ）. 定理 3 若向量组 r , , , 1 2 线性相关，则向量组 r r m , , , , , , 1 2 +1 也线性相关
推论1若向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。 推论2若向量组整体无关，则部分无关。 定理4设有两个n维列向量组 A:a1,a2,.,am B:b1,b,.,b 其中 ，j=1,2,.,m a a) 则向量组A与向量组B有相同的线性相关性。 证记A=(a1,a2,.,am),B=(6,b2,.,b) 向量组A线性相关的充分必要条件是方程组=0，即 a,a.anx）0 a1a2. aia.a八xno 有非零解。向量组B线性相关的充分必要条件是方程组际=0，即 a21a2 aa2 (aa.ax0 有非零解。这里，方程组x=0与Bx=0只是交换了第1与第2个方程的次序， 因而这两个方程组是同解的。所以，若A组线性相关，则B组有线性相关：若A 组线性无关，则B组有线性无关，即它们的线性相关性相同。 定理4中的b,是交换，的第1与第2个分量而得，如果交换的是另外两个 分量，结论显然也成立。交换一次是这样，交换多次也还是这样。于是可得更一 般的结论： 定理4设有两个向量组 A:4=(a,a2y.,a),j=l,2,m B:b=(anw0pJ.,a,j=1,2,.,m 其中p,P2.P是1,2，.，n这n个正整数的某个确定的排列，则向量组A与向量
推论 1 若向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。 推论 2 若向量组整体无关，则部分无关。 定理 4 设有两个 n 维列向量组 A ：a a am , , , 1 2 B ：b b bm , , , 1 2 其中 j a = n j j j a a a 2 1 ， j b = n j j j a a a 1 2 ， j =1, 2 , , m 则向量组 A 与向量组 B 有相同的线性相关性。 证 记 ( , , , ) A = a1 a2 am ， ( , , , ) B = b1 b2 bm . 向量组 A 线性相关的充分必要条件是方程组 0 Ax = ，即 = 0 0 0 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nm m m m x x x a a a a a a a a a 有 非 零 解 。 向 量 组 B 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 方 程 组 0 Bx = ， 即 = 0 0 0 2 1 1 2 11 12 1 21 22 2 n n nm m m m x x x a a a a a a a a a 有非零解。这里，方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 只是交换了第 1 与第 2 个方程的次序， 因而这两个方程组是同解的。所以，若 A 组线性相关，则 B 组有线性相关；若 A 组线性无关，则 B 组有线性无关，即它们的线性相关性相同。 定理 4 中的 j b 是交换 j a 的第 1 与第 2 个分量而得，如果交换的是另外两个 分量，结论显然也成立。交换一次是这样，交换多次也还是这样。于是可得更一 般的结论： 定理 4' 设有两个向量组 A ： j a T a j a j an j ( , , , ) = 1 2 ， j =1, 2 , , m B ： j b T p j p j p j n (a ,a , ,a ) = 1 2 ， j =1, 2 , , m 其中 p1 p2 pn 是 1, 2 , , n 这 n 个正整数的某个确定的排列，则向量组 A 与向量
组B有相同的线性相关性。 定理4是对列向量叙述的，对行向量显然也有相同的结论。 定理5设有两个向量组 A:a,=(ay,a,.,a,j=l1,2,.,m B:b,=(ay,a,.,a,a4w,j=1,2,.,m 即b,是由，加上一个分量而得，若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 证记A=(a,a2,.,an),B=(6,b2,.,bm) 由于Bx=0的前r个方程就是Ax=0的r个方程，故方程组Bx=0的解一定 是Ar=0的解。 因为向量组A线性无关，所以Ax=0只有零解，从而x=0也只有零解，故 向量组B也线性无关。 定理5中由ā，添上最后一个分量得6，而由定理4'可知，添上的分量无论 加在什么位置，结论也都成立。 推论维向量组的每个向量都添上”一r个分量而成为n维向量组，若，维 向量组线性无关，则n维向量组也线性无关：反之，若维向量组线性相关，则 r维向量组也线性相关。 §4.3向量组的秩 定义设有向量组T,如果 (1)在T中有r个向量a,a2,a,线性无关： (2)T中任意r+1个向量（如果存在的话）都线性相关， 则称a,4,.,C,是向量组T的一个最太线无送组，简称最大无关组，数r称 为阋量组的您。并规定只含零向量的向量组的秩为0. 矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，向量组的最大无关组也可能不止一 个。例如，向量组 A:%=(1,2,-0,a=(2,-3,),a43=(4,1,-1) 可构成三阶方阵 12-1 A=2-31 (41-1 方阵A只有一个3阶子式A,且|A=0,而A的9个2阶子式恰好都不等于零
组 B 有相同的线性相关性。 定理 4 是对列向量叙述的，对行向量显然也有相同的结论。 定理 5 设有两个向量组 A ：a j = T a j a j ar j ( , , , ) 1 2 ， j =1, 2 , , m B ： j b T a j a j ar j ar j ( , , , , ) = 1 2 +1, ， j =1, 2 , , m 即 j b 是由 j a 加上一个分量而得，若向量组 A 线性无关，则向量组 B 也线性无关。 证 记 ( , , , ) A a1 a2 am = ， ( , , , ) B b1 b2 bm = . 由于 Bx = 0 的前 r 个方程就是 Ax = 0 的 r 个方程，故方程组 Bx = 0 的解一定 是 Ax = 0 的解。 因为向量组 A 线性无关，所以 Ax = 0 只有零解，从而 Bx = 0 也只有零解，故 向量组 B 也线性无关。 定理 5 中由 j a 添上最后一个分量得 j b ，而由定理 4'可知，添上的分量无论 加在什么位置，结论也都成立。 推论 r 维向量组的每个向量都添上 n − r 个分量而成为 n 维向量组，若 r 维 向量组线性无关，则 n 维向量组也线性无关；反之，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。 §4.3 向量组的秩 定义 设有向量组 T ，如果 （1）在 T 中有 r 个向量 r , , , 1 2 线性无关； （2） T 中任意 r +1 个向量（如果存在的话）都线性相关， 则称 r , , , 1 2 是向量组 T 的一个最大线性无关组，简称最大无关组，数 r 称 为向量组的秩。并规定只含零向量的向量组的秩为 0. 矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，向量组的最大无关组也可能不止一 个。例如，向量组 A : (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1) 3 = − 可构成三阶方阵 − − − = 4 1 1 2 3 1 1 2 1 A 方阵 A 只有一个 3 阶子式 | A| ，且 | A| = 0 ，而 A 的 9 个 2 阶子式恰好都不等于零
因此A中任何一个2阶子式都是A的最高阶非零子式。且G,G,是向量组A的一 个最大无关组，而,a,或么，a也都是向量组A的最大无关组。 例1全体n维向量构成的向量组记作R,求R"的一个最大无关组及R”的 解我们已经证明了n维单位坐标向量组 E:6,62,.,6 是线性无关的，又由定理6的推论3可知，R中任意n+1个向量都线性相关， 因此向量组E就是R的一个最大无关组，且R"的秩等于n 显然，R"的最大无关组很多，任何n个线性无关的n维向量都是R”的最大 无关组。 由定义可知，一个向量组如果是线性无关的，则它的最大无关组就是它本身 从而有 性质1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。 性质2设矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式，则D所在的r 个行向量就是矩阵A的行向量组的一个最大无关组；D所在的r个列向量就是矩 阵A的列向量组的一个最大无关组。 性质3矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，也等于A的列向量组的秩 性质4设向量组A:a,a2,.,&,是向量组T的一个最大无关组，则向量 组A与向量组T等价。 证因为AcT,所以A组能由T组线性表示。 由定义可知，T中任意r+1个向量都线性相关，因此任取a∈T,当aA时 有云，区，.，d,这r+1个向量线性相关，而由已知云，应，.，正，线性无关， 于是由定理2可知，a能由向量组A线性表示：当a∈A时，a也能由向量组A线 性表示(A组能由A组自身线性表示)。总之，任取a∈T,d总能由向量组A线 性表示，即T组也能由A组线性表示。 于是向量组A与向量组T等价 至此，我们可以回答本章§1最后所提的问题3了。设方程组 ax1+a22+.+anxn=0 a2+a2zx2+.+a2nxn=0 awl+am23+.+4maXg=0 的系数矩阵A的秩为R()=r,并找到一个不等于0的r阶子式D,则包含D的 ~个方程就构成保留方程组。这是因为与D对应的，个行向量是A的行向量组的
因此 A 中任何一个 2 阶子式都是 A 的最高阶非零子式。且 1 2 , 是向量组 A 的一 个最大无关组，而 2 3 , 或 1 3 , 也都是向量组 A 的最大无关组。 例 1 全体 n 维向量构成的向量组记作 n R ，求 n R 的一个最大无关组及 n R 的 秩。 解 我们已经证明了 n 维单位坐标向量组 E ： n , , , 1 2 是线性无关的，又由定理 6 的推论 3 可知， n R 中任意 n +1 个向量都线性相关， 因此向量组 E 就是 n R 的一个最大无关组，且 n R 的秩等于 n . 显然， n R 的最大无关组很多，任何 n 个线性无关的 n 维向量都是 n R 的最大 无关组。 由定义可知，一个向量组如果是线性无关的，则它的最大无关组就是它本身， 从而有 性质 1 向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的最高阶非零子式，则 D 所在的 r 个行向量就是矩阵 A 的行向量组的一个最大无关组； D 所在的 r 个列向量就是矩 阵 A 的列向量组的一个最大无关组。 性质 3 矩阵 A 的秩等于 A 的行向量组的秩，也等于 A 的列向量组的秩。 性质 4 设向量组 A ： r , , , 1 2 是向量组 T 的一个最大无关组，则向量 组 A 与向量组 T 等价。 证 因为 A T ，所以 A 组能由 T 组线性表示。 由定义可知， T 中任意 r +1 个向量都线性相关，因此任取 T ,当 A 时， 有 , , , , 1 2 r 这 r +1 个向量线性相关，而由已知 r , , , 1 2 线性无关， 于是由定理 2 可知， 能由向量组 A 线性表示；当 A 时， 也能由向量组 A 线 性表示（ A 组能由 A 组自身线性表示）。总之，任取 T ， 总能由向量组 A 线 性表示，即 T 组也能由 A 组线性表示。 于是向量组 A 与向量组 T 等价。 至此，我们可以回答本章§1 最后所提的问题 3 了。设方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的系数矩阵 A 的秩为 R(A) = r ，并找到一个不等于 0 的 r 阶子式 D ，则包含 D 的 r 个方程就构成保留方程组。这是因为与 D 对应的 r 个行向量是 A 的行向量组的