第六章微分中值定理及应用 (9)lim( 1+x2)2=lim e In(1+t) h(+x2) (10)lim sinrlnx lin (1)l(1--1-)=lms二2x2 In, osr 2xsin x 2x'sinrcosr lim- sin2x-2c -0 2rsin x+ 2x sin2 x cos2 x-1 lim sin'x 2xsin2x +x"oos2x in 3sin2x +6xcos2 x-2xsin2r In lim isc--tamx 6.设函数f在a点具有二阶导数,证明:对充分小的h,存在0,0< 0<1,使得 f(a+h)+fa-h)-2f(a)_ f(a+ h)+(a-on 证令g(x)=f(a+x)+f(a-x)
82柯西中值定理和不定式极限 则,(a+h)+f(an-h)-2(a) g(h)-g(o =(2)-0(:g(0)=r(a)-f(a)=0) ⊥g'(h)-g(0 g( h)h_g"(oh )_fla+0h)+f( 2 7.求下列不定式极限: (1)lim COS(c (2)lim (-2arctanr )Inx 1 (3)lim rain: (4)lim(tan.x) (5)lim 1+x)(1+x)1 ); (6)lim(ctan.x (8)lim(a-arctan.x 解(1) lim Incos(x-1) sin(x-1) 2s(x-1)a sin(z-1) 2 (2)lim(r-2arctanr)Inz arctan 2cln2 Inx 2Inr =2 lim 1
第六章微分中值定理及应用 (3)lim rinr= lim esinlnr e imn(题nx,5n (4)lim (tanz)tanzi= lime tan2xtIntank er/ctan2r n2.I =e (5)lim( In(1 +z 1)=l(1+2(1+x2-x 田2(1+x)2 (6)lim(ctanz-1y x∞s-sunx =0 o sinT t TaEr (1+x)=C=lim[(1 In(1+x 2(1+x2)2 arctan (8)lim(2-arctanx ) l(2-a Inx - ltr 8.设f(0)=0,f在原点的某领域内连续,且f(0)=0.证明: HE lim rf(r)=lim e/(=)Inr er+ int en(-thyf(x)) 9.证明:定理66中,mf(x)=0,1g(x)=0,情形时的罗 比达法则
§2柯西中值定理和不定式极限 i) lim f(z)=0, lim g(r)=0; (i)存在Mo>0,使得f与g在(M0,+∞)内可导,且g(x)≠0; (m)mf(x=A(A为实数,也可为±∞或∞)则 工鲁口 lim I(z= lim f o=a g(r) 证令y= )=F(y),g()=G(y),则x→+∞等 价于y→0',并由条件有 (1)inF(y)=0,mG(y)=0 ()F与G在原点的某右空心邻域U+°(0)内可导,且 G(y)=-2g( 1)≠ ro*G(=lim-y y=lim 1=A (ⅲ)b 补充定义F与G在y=0的值为F(0)=G(0)=0,在U+(0)内任 取一点y在区间[0,y]上应用柯西中值定理,有 G()=a()=c0=0(,0<≤y 由于y→0+时,→0+,所以令y→0+对上式取极限得 lim G(yimG (3= lim 故li f(a) 10.证明:f(x)=x2ex为有界函数 证因为 limf()=lim 所以存在G>0,使得当1x1>G时f(x)1<1;又f(x)在闭区间
第六章微分中值定理及应用 G,G]上连续,所以存在M1>0,使得对一切x∈[-G,G],有 f(x)≤M1,取M=max{1,M1,则对一切x∈(-∞,+∞),都有 f(x)|≤M.故f(x)为有界函数 S3泰勒公式 1.求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式 (1)f(x)= 1+x (2)f(x)= arctan x到含x5的项; (3)f(x)=tanx到含x5的项 解:(1)因为fn)(x)=(-1)n (2n-)(1+x)-2n fn(0)=(-1)n(2n1)1 因此f(x) 1+(-2)x+…+(-1)(2n-1)12+O(x) (2)因为f(0)=0 f(x)=(1+x2)1,f(0)=1 f(x)=-2x(1+x2)-2,f(0)=0, ∫(x)=-2(1+x2)-2+8x2(1+x2)-3,f"(0)=-2, f4)(x)=24x(1+x2)3-288x2(1+x2)4,(0)=0, 5)(x)=24(1+x2)-3-288x2(1+x2)-4+384x (1+,x2)5,f5)(0)=24, 所以 f(x)= 3+3x 5+0(x5) (3)因为f(0)=0 f(x)=se2x,f(0)=1 f(r)=2secxtanz, f(0)=0