精品课程《数学分析》课外训练方案 第十八章隐函数定理及其应用 基本概念 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 y=x+l, u=e(sin xy+sin y=+ sin zx) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程F(x,y,)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组/(x,y,=,L,)=0 所确定的隐 lG(x,y,=,)=0 函数求导法 根据复合函数求导法则,在F(x,y)两边对x求导,得到 F1+F-y=0→F,≠0时,y= 当方程中的变量多于2个时,例如,设方程F(x,y,z)=0确定了是x和y的函数,并且 关于,y的偏导数都存在,在此前,如何求,? 对F(x,y,z)=0关于x,)求导,利用链式法则 aF aFaF az aFaF az 0 (F2≠0) 0 ax az ax -8F(F2≠0) 说明 需要假定-(F)≠0, 假设是很重要的 C二 (2)这里只用到了“链式法则”; (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y) (4)不要死记公式,要掌握思想方法 2、方程组的情形 设由方程组 F(x,y,=,l,v)=0 IG(x,y, 2,u,)=0 确定了u,v是x,y,的函数:u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)并且它们具
精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第十八章 隐函数定理及其应用 一、基本概念 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx) xyz = + = + + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程 所确定的隐函数求导法以及由方程组 所确定的隐 函数求导法。 F(x, y,z) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 根据复合函数求导法则, 在 F(x, y) 两边对 x 求导, 得到： y X X Y y F F F + F ⋅ y = ⇒ F ≠ y = − ' ' 0 0 时， 当方程中 的变量多 于 2 个时, 例如, 设 方 程 F(x, y,z) = 0 确 定 了 z是x和y 的函数, 并且 , ? y z x z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ 关于 ， 的偏导数都存在，在此前，如何求 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( z z F F F F z z x F F z z y F F x z x x F F x z y y z z 0) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = ⇒ = − ≠ + = ⇒ = − ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 说明： （1）求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 需要假定 ( ) ≠ 0, ∂ ∂ Fz z F ，这一假设是很重要的； （2）这里只用到了“链式法则”； （3）对 F(x, y,z) = 0求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 （4） 不要死记公式，要掌握思想方法。 2、方程组的情形 设由方程组 确定了 ： ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v u,v是x, y,z的函数 u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具
精品课程《数学分析》课外训练方案 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? F2 F. F 解决方案:F+FU2+FF1=0 GG G+GU+Gv=0 F F (≠0) 求U,V及U,V的方法与求Ux,Vx完全相同 、隐函数存在定理 定理1(隐函数存在定理)设二元函数F(x,y)满足下列条件: ()在矩形区域D={(x,y)x-x<ay-y<b内,有关于xy的连续偏导数 (2)F(x0,y0)=0;(3)F,(x0,y0)≠0 则()在(x0,y)的某个领域内,由方程F(x,y)=0可以确定唯一的函数y=f(x) 也即,存在刀>0,当x∈O1(x0时有F(x,f(x)=0,并且y0=f(x) (2)On(x连续:(3)O2(x有连续的导数。 注:(1)定理的几何意义:条件(1)表明曲面z=F(x,y)是光滑的;条件(2)表明曲面和坐标平面=0 有一个交点,条件(3)(不妨设F(x0,y)>0)表明在(x,y00)的附近,对固定的x,设y为正向,曲面 是单调增加的。定理的结论是:在点(x0,y00)的附近曲面和z=0有一条唯一的光滑交线.(2)定理的结论 是局部性的,即在点(x0,y)的某个邻域内由方程F(x,y)=0可以唯一确定一个可微的隐函数。例如: F(x,y)=x+y 在点(,1)的某个邻域D1内由方程x2+y2-1=0可以确定唯一的y=√1-x2。在点的某个邻域D2内由方 程x2+y2-1=0可确定唯一的y=-1-x2.(3)定理的条件是充分的,非必要的。如上例中的函数: F(x,y)=x2+y-1=0在(-1,0)和(1,0)两点,F,=0,破坏了定理中的条件(3),从而定理失 效。从图中可以看出,对于在右邻域或左邻域内的任何一个值x,将获得两个值y: √1 唯一性条件破坏。 定理2(方程组情形的隐函数存在定理) 设(1)F(x,yu,y)和G(x,y,uv)在点P(x0,y0,u,V0)的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数:(2)
精品课程《数学分析》课外训练方案 2 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 0 0 x u x v x x u x v x G G U G V F F U F V ⇒ (≠ 0) = v v u u v v x x x G F G F G F G F U (≠ 0) = v v u u x x u y x G F G F G F G F V 求 完全相同。 U y Vy U z Vz U x Vx , 及 ， 的方法与求 , 3、隐函数存在定理 定理 1（隐函数存在定理） 设二元函数 F(x, y) 满足下列条件： 在 内连续； 在 内有连续的导数。 也即，存在 ，当 时有 ，并且 则 在 的某个领域内，由方程 可以确定唯一的函数 ， 在矩形区域 内，有关于 的连续偏导数； (2) ( ) (3) ( ) 0 ( ) ( , ( )) 0 ( ) (1) ( , ) ( , ) 0 ( ) (2) ( , ) 0 ; (3) ( , ) 0; (1) {( , ) | , } , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f O x f O x x O x F x f x y f x x y F x y y f x F x y F x y D x y x x a y y b x y y η η η > ∈ η = = = = = ≠ = − < − < 注： (1) 定理的几何意义：条件(1)表明曲面 z = F(x, y) 是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面 z = 0 有一个交点，条件（3）（不妨设 ）表明在 的附近，对固定的 x，设 y 为正向，曲面 是单调增加的。定理的结论是：在点 的附近曲面和 Fy (x0 , y0 ) > 0 ( , ,0) 0 0 x y ( , ,0) 0 0 x y z = 0有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论 是局部性的，即在点(x0 , y0 ) 的某个邻域内由方程 F(x, y) = 0 可以唯一确定一个可微的隐函数。例如： F(x, y) = 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某个邻域 D1内由方程 1 0 可以确定唯一的 2 2 x + y − = 2 y = 1− x 。在点的某个邻域 内由方 程 可确定唯一的 D2 1 0 2 2 x + y − = 1 . 2 y = − − x （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数： F(x, y) = 1 0 在（-1，0）和（1，0）两点， 2 2 x + y − = Fy = 0 ，破坏了定理中的条件（3），从而定理失 效。从图中可以看出，对于在右邻域或左邻域内的任何一个值 x ，将获得两个值 y ： 2 y = 1− x ， 2 y = − 1− x 。 唯一性条件破坏。 定理 2（方程组情形的隐函数存在定理） 设（1） F(x, y,u,v)和G(x, y,u,v)在点P0 (x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；（2）
精品课程《数学分析》课外训练方案 F,Fr, Fu,F F(xo,y,lo,v)=0,G(x0,yo,,v0)=0;(3)F,G关于x,y,u,v的 Jacobi矩阵 点P的秩为2。则:存在点B的一个邻域,在此邻域内由方程组F(x,y,l,v)=0,G(x,y,l,v)=0;可以 确定唯一的函数:u=l(x,y),v=v(x,y)满足 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 G(,, u(x, y),(x,y))=0; 并且u、v都是关于x和y存在连续偏导数。 、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理; 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题; 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值 四、典型例题 例1设x2=w,y2=ln,x2=ny及∫(x,y,z)=F(u,V,),证明 xf +y +f=uF+vF +wF ww x=x(u, v, w) 证方程组{y2=m确定了函数组{y=y(u,,),先求这个函数组对各变元的偏导数,为此,对 2=(u20,v) 方程组求微分得 2xdx=wdy+rdw 2yd=wd+uh,即dy=d+ch 2-dc=vdu+udv y 2y 0 ay ay ay 将函数组代入方程∫(x,y,=)=F(,v,w),得关于变元l,v,w的方程
精品课程《数学分析》课外训练方案 3 F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0；（3） F，G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵： 在 点 的秩为 2。则：存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y u v x y u v G G G G F F F F , , , , , , P0 P0 F(x, y,u, v) = 0，G(x, y,u, v) = 0； 可以 确定唯一的函数：u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ； ， ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y u x y v x y F x y u x y v x y 并且 u 、v 都是关于 x 和 y 存在连续偏导数。 二、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理； 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题； 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值。 四、典型例题 例 1 设 x 2 = vw ， y = uw， 及 2 z = uv 2 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对 方程组求微分得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z uv y uw x vw 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，得关于变元u, v,w 的方程
精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x(u,v, w),y(u,v,w),(u,v, w))=F(u, v, w) 在这方程两边分别对l,v,w求偏导,得 F F ax fa+f+f=F 将上面三式分别乘以l,v,w后再相加,得 ∫+2+f+f2+f+f uF+vE+wF 将x2=w,y2=,2=m代入即得xx+y,+1=Fn+vF,+wF 例2若2=f(x,y)有连续二阶偏导数,满足方程02=_a32 ax2a12=(),证明:若把==f(x,y)中y看 成x的函数,则它满足同样形状的方程yy= 证由二=∫(x,y)确定y是x,z的函数,则有=f(x,y(x,),方程两边分别对x,二求偏导,得 0 af af ay (1) af ay (1)式再分别对x,二求偏导,得 了f,2fba2f/yay ax away ax ay ax ay ax 0= f ay af ay ay af ay (4) andy az ay ax az ay axa (2)式再对z求偏导,得 0= 82f(y2+y02 (3)(5)式
精品课程《数学分析》课外训练方案 4 f (x(u, v,w), y(u, v,w),z(u, v,w)) = F(u, v,w) ， 在这方程两边分别对u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fv v z f v y f v x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fw w z f w y f w x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 将上面三式分别乘以u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x 2 = vw ， y = uw， 代入即得 2 z = uv 2 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 。 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看 成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏导，得 x y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 = （1） z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ 1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 0 （4） (2) 式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = （5） 由（3）（5）式
精品课程《数学分析》课外训练方案 o/。(2y3=92c+1(y2+9a2y axon ax ayay af 0a f ay. af a- Oxy ax ay- ax ayay 2 af ayr af ay ax2 a=2 ay ay2 ax Oxy Ox ay2ax ayay, 2 af ay ayr af ay a-f ayay ax2 dz2 Oy ay2 ax a: axdy az ay2 ax 由(4)式 a2fay、ma a-f ay ay, af ay oXo f ayay ay- ax az ay axdz af ay2, af ay Oyr af ay, df ay ay axa= ay2 ax a- ay2 axa 04== a2 因为 a+a.3(9)2-f912@,0/@y ax az ay axa= ay2 Ox az ay2 ax az ay axa 结合(4)式得 a2y2y()2= axap)3+2可fo10,0fy ax az axay az ay ax az ay axa 885)2 2ya2y_02 ax az l=f(x,y,,1 例3设{8(,=)=0,问什么条件下是x,y的函数啊?求ancn h(二,D)=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 5 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 ( ) x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 例 3 设 ，问什么条件下u 是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t x, y 的函数啊？求 y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ,