1拉格朗日中值定理和函数的单调性 续,在(a,b)内可导,且S(a)=S(b)=0,所以由罗尔中值定理知:在 (a,b)内至少存在一点E,使得S()=0而 f( I f(r)1 b-a f(b-f(a)0 f(a) [f(x)(b-a)-(f(b)-f(a)], 故 f(b)-f(a)=f()(b-a) 9.设f为[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点 c∈(a,b)使得f(c)>0,证明至少存在一点E∈(a,b),使得∫() <0. 证由拉格朗日中值定理知: f(c)=f(c)-f(a)=f(61)(c-a),a<61<c f(c)=f(b)-f(c)=f(2)(b-c),c<E2<b 因为f(c)>0,所以f(1)>0,f(2)<0,从而 f(2)-f(1)<0,2-61>0 又由拉格朗日中值定理知:存在一点E∈(1,2)C(a,b),使得 f(2)-f(1)=f"()(2-61)∴f()<0 10.设函数f在(a,b)内可导,且f单调证明∫在(a,b)内连 证不妨设∫在(a,b)内单调递增,则对任一x0∈(a,b),必存 在x0的某一邻域U(x0)C(a,b).因为∫在U+(x0)内单调递增有 下界f(x0),在U(x0)内单调递增有上界f(xo),所以limf(x), imf(x)都存在从而由拉格朗日中值定理的推论
第六章徽分中值定理及应用 limf(r)=f+(xo), lim f()=f'(ro), 而f(x0)=f-(xo)=f(xo),故f(x)在(a,b)内连续. 11.设P(x)为多项式,a为P(x)=0的r重实根,证明:a必定是 P(x)的r-1重实根 证由题设P(x)=h(x)(x-a),其中h(x)为多项式,且 h2(a)≠0,从而 p(x)=(x-a)r[h'(x)(x-a)+rh(x)], 又因[h'(x)(x-a)+th(x)]|x=a=rh(a)≠0,所以a是p(x)= 0的r-1重实根 12.证明:设∫为n阶可导函数,若方程f(x)=0有n+1个相异 的实根,则方程fn(x)=0至少有一实根 证设f(x)=0的n+1个相异实根为 x0<x1<x2<…<xn 则由罗尔中值定理知:存在E1:(=1,2,,n) x0<511<x1<12<x2<…<1n<xn, 使得f(1;)=0,(i=1,2,…,n) 再由罗尔中值定理至少存在与2;(i=1,2,…,n-1): 61<621<12<2<13<…<52n-1<1n 使得f(E2)=0,(i=1,2,…,n-1) 如此作到第n步,则知至少存在一点E:En-11<<En-12, 使得n)()=0 13.设a,b>0,证明方程x3+ax+b不存在正根 证由于f(x)=3x2+a 对于Vx>0,f(x)=3x2+a>0,单调增, 而当x=0f(0)=b>0 f(x)=x3+ax+b不存在正根 14.证明:mx>,z∈(0,5)
§2柯西中值定理和不定式极限 证原式等价于tanz·sinx>x2,x∈(0,5)设f(x)=tanx f(r)=sinx sect+1)-2x f(r)=3secx-cosx-2 f(r)=3tanxsecz sinx >0,xE(0,0) 故f(x)在(0,5)内严格递增.又f(x)在x=0处连续且f(0) 0,所以f(x)>0,x∈(0,)从而f(x)在(0,)内严格递增 又∫(x)在x=0处连续,且f(0)=0,所以∫(x)>0,x∈(0,5) 于是f(x)在(O,2)内严格递增且f(z)在z=0处连续,f(0)=0 所以∫(x)>0,x∈(0,5).即 tanx:sinx>x2,x∈(0, 15.证明:若函数f,g在区间[a,b]上可导,且∫(x)>g(x), f(a)=g(a),则在(a,b]内有f(x)>g(x) 证设F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)=f(x)-g'(x)>0,x∈(a,b] 故F在[a,b]上严格递增,所以当x∈(a,b],有 F(x)>F(a)=0故在区间(a,b]上f(x)>g(x) S2柯西中值定理和不定式极限 1.试问函数f(x)=x2,g(x)=x3在区间[-1,1]能否应用柯西 中值定理得到相应结论,为什么? 解不能得到,因为∫(x)=2x,g(x)=3x2,当x=0时 f(x)=g(x)=0,不满足柯西中值定理的条件 2.设函数f在[a,b]上可导证明:存在∈(a,b)使得
第六章微分中值定理及应用 ELf(b)-f(a)]=(b2-a2)f() 证设F(x)=(b2-a2)f(x)-[f(b)-f(a)]x2,则F(x)在 [a,b]上可导.且F(a)=F(b)故由罗尔中值定理各:存在∈(a b),使得 F()=(b2-a2)f(e)-2E[f(b)-f(a)]=0 即2[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f() 3.设函数∫在点a,具有连续的二阶导数证明 f(a+h)+f(2-h)=2()=r(a) 证设g(x)=f(x)-f(x-h),并取绝对值充分小的h,使得 f(x)在U(a,21h1)内有定义则由拉格朗日中值定理知 f(a+h)+f(a-h)-2f(a f(a+h)-f(a)]-[f(a)-f(a-h)] =g(a+h)-g(a)=g(1)h =[f(1)-f(1-h)lh=f()h2 其中1在a与a+h之间,在1与1-h之间因此 lm(a+b)+(2-h)-2(a)=mf(e), 注意到当h→0时,有E→a,且f(x)在点a连续,所以 (a+h)+fa-h)-2f(a f"(a) 4.设0<a<B<试证明存在∈(a,),使得 sina- sinB= cane Csa 证因为f(x)=-sinx,g(x)=08x在[a,月上连续,在(a,B) 内可导,f(x cx,g(x)=-sinx在(a,B)内不同时为零 g(a)≠g(P),所以由柯西中值定理知:存在0∈(a,B),使得 sina-sing cano aos CoSa 138
§2柯西中值定理和不定式极限 5.求下列不定式极限 (1)lim et-1 (2) lim 1-2sint (3)Iin In(1+2-I(4)lim tantI cos-1 D SInr (5)lim tanI-6 (7)imn(amx)如;(8)lmz (9)lmn(1+x2) (10)lim sinrInz; (1)(32-21-);(12)hm(如)2 F (1)lim sint= lim osz=1 (2)lim I-2sinx In(1+x-x 1+x (3)ig 一sn (4) 2secxtanr=2 limped=2 (5)lim tanzt-6 \it sect tanz r2 secr+ (6)limt 1)=1x(-1)=1-1+ 2e + xe (7)lim(tanr )aint lim e ainrintanr=elim sinrintanr =e lim bane Iim aec raint =ex-0 r limen