精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章多元函数的极限与连续 第十七章多元函数微分学 、基本概念 1、多元函数的概念 n元函数的定义:设D是R"的一个子集,R是实数集,∫是一个规律,如果对D中的每一 点X=(x1…,xn),通过规律∫,在R中有唯一的一个y与此对应,则称∫是定义在D上的一 个n元函数,它在的函数值是y,并记此值为∫(x),即y=∫(x)。通常为方便,也称∫(x)是 个n元函数(不强调定义域) 2、多元函数的极限定义 设D是R”的一个开集,a∈D,A是一个常数,f(x)是定义在D-{a}上的n元函数.如 果VE>0,36>0,VxeO(a)-{a}有f(x)-A<E,则称当x→>a时n元函数收敛,其 极限是A,记为limf(x)=A或∫(x)→A(x→a)或limf(x1,x2,…xn)=A,其中, x2→a2 x=(x1,…,xn),a=(a1,…,an)) 说明:1)上述极限又称重极限或全极限,它与后面讲的逐次极限或累次极限不同: 2)从形式上看,n元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样,但在这里x,a∈R O3(a)-{a}是n维去心开球 3)“x∈O2(a)-{a}”可改写为“0<x-a<6”,用坐标写出来为 4)“x∈O(a)-{a}”、“0<x-a<6”、和下面的叙述是等价的:x1-a1|< xn-an|<n,(x1…,x,)≠(a1,…,an)(即x≠a);但要注意: x-a|<d(i=12,…n),x≠a和0<x1-a<6(i=12,…,n)不是一回事!以R2为 例:x1-a1<6,x2-a2|<d,x≠a表示一个去心开正方形内部,而0<x1-a1|<d 0<x2-a2<,表示取样两条直线x1=a,x2=a的开正方形的内部
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 一、基本概念 1、多元函数的概念 n 元函数的定义：设 D 是 n R 的一个子集， R 是实数集， 是一个规律，如果对 中的每一 点 ，通过规律 ，在 f D ( , , ) 1 n X = x L x f R 中有唯一的一个 与此对应，则称 是定义在 上的一 个 元函数，它在的函数值是 y f D n y ，并记此值为 f (x) ，即 y = f (x) 。通常为方便，也称 是 一个 元函数（不强调定义域）。 f (x) n 2、多元函数的极限定义 设 D 是 n R 的一个开集，a ∈ D ， A 是一个常数， 是定义在 上的n 元函数．如 果 f (x) D −{a} ∀ε > 0， ∃δ > 0 ，∀x ∈O (a) −{a} δ 有 f (x) − A < ε ，则称当 时 元函数收敛，其 极限是 x → a n A ，记为 或 或 ，其中， ）． f x A x a = → lim ( ) f ( ) x) → A (x → a f x x xn A x a x a x a n n = → → → lim ( , , ) 1 2 2 2 1 1 L M ( , , ), ( , , ) 1 n a a1 an x = x L x = L 说明：１） 上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同； ２） 从形式上看， 元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样，但在这里 ， 是 维去心开球； n n x,a ∈ R O (a) −{a} δ n 3 ）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”可改写为“ 0 < x − a < δ ”，用坐标写出来为： < − + + − < δ 2 2 1 1 0 ( ) ( ) n n x a L x a ; ４）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”、“ 0 < x − a < δ ”、和下面的叙述是等价的： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， …， n an n x − < δ ， ( , , ) ( , , ) 1 n a1 an x L x ≠ L （即 x ≠ a ）；但要注意： xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ），x ≠ a 和0 < xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ）不是一回事！以 2 R 为 例： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， x ≠ a 表示一个去心开正方形内部，而 0 < x1 − a1 < δ ， 0 < x2 − a2 < δ ，表示取样两条直线 x = a 1 ， x = a 2 的开正方形的内部。 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 5)和一元函数的情形一样,如果limf(x)=A,则当x以任何点列及任何方式趋于a时, f(x)的极限即是A;反之,x以任何方式及任何点列趋于a时,f(x)的极限即是A,即在的极 限存在且为( Hermit定理)。但若x在某一点列或沿某一曲线→>a时,f(x)的极限为A,还不 能肯定∫(x)在a的极限是A。所以说,比一元函数的情形复杂得多。 2、二元函数极限定义 设D是R2中的一个开集,a∈D,A∈R,f定义在D-{a}上,若对 vE>0,96>0,V(x,y)∈O(a)-{a},有(x,y)-A<E,则称当(x,y)→(x02y)时二元 函数∫收敛,其极限是A,记为limf(x,y)=Aorf(x,y)→A(x,y)→(x0→>y)。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切勿混淆。考虑函数∫(x,y)在(x0,y0)点 的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:limf(x,y)=f(x,y0) f(x,y)在点(x,y0)存在偏导数定义为: 0,yo)= lim f(x, yo)-f(xo,yo) f (ro, yo)=lim f(xo, y)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可微定义为 f(xo+Ax, yo+Ay)-f(o, yo)-f(xo, yo)Ax-f(o, yo )Ay 0 A→0 √Ax2+4y2 因此,要讨论∫(x,y)点(x0,y0)的可微性,首先要求fx(x0,y),f,(xo,y0)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点 f∫连续 f’J,连续 ∫可微 fx,f,存在
精品课程《数学分析》课外训练方案 5） 和一元函数的情形一样，如果 f x A x a = → lim ( ) ，则当 以任何点列及任何方式趋于 a 时， 的极限即是 x f (x) A ；反之，x 以任何方式及任何点列趋于 a 时， f (x) 的极限即是 A ，即在的极 限存在且为（Hermit 定理）。但若 x 在某一点列或沿某一曲线→ a 时， f (x) 的极限为 A ，还不 能肯定 f (x) 在 a 的极限是 A 。所以说，比一元函数的情形复杂得多。 2、 二元函数极限定义 设 D 是 2 R 中 的 一个开集 ， a ∈ D, A∈ R ， f 定 义 在 D −{a} 上，若 对 ∀ > 0, ∋ > 0, ∀(x, y) ∈O (a) −{a} δ δ ε ，有 f (x, y) − A < ε ，则称当 时二元 函数 收敛，其极限是 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y f A ，记为 lim ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 f x y A or f x y A x y x y y y x x = → → → → → 。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数 在 点 的情形，则它们分别为： f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → ， 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → f (x, y) 在点( , ) 可微定义为： 0 0 x y 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ ∆ →∆ → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 点 的可微性，首先要求 ， 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 点） f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 f x y x ( , ) 0 0 f x y y ( , ) 0 0 x y 3 1 2 4 f 连续 x f ，f y 存在 f x ，f y 连续 f 可微 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论。 0 小2,43例:,(xy)={x2+y 0 这是教材中的典型例题,f2(00)=f,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(00)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0.0)点不连续。 34,3+2例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, limf(x,y)=0=f(0,0) f(x0)-f(0)√x2_|x1 x> l,x<0 故f2(00)不存在。由xy的对称性,f(0)不存在。从而,f(x,y)在(0,0)点不可微(否则, f(00),J,(00)均存在) 21倒3:f(xy) (x+y)sin x2+y2x+y2≠0 f(0)=m(x,0)-f(00)=m、 x 由x,y的对称性,f,(00)=0 f(x,y)-f(0)-fx(00)x-f,(00)y (x+y)sin 0 t y sin 故f(x,y)在(00)点可微。且d(0)=f2(00)x+J,(00d=0 xsin coS x2+y2≠0 f(x,y) 0
精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中，反方向均不成立。下面以( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4⇒2 ，4⇒3 例 1： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在(0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在(0,0) 点不连续。 3⇒4 ，3⇒2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在(0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但 ⎩ ⎨ ⎧ − < > = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 f x (0,0) 不存在。由 x, y 的对称性， 不存在。从而， 在 点不可微（否则， ， 均存在）。 (0,0) y f f (x, y) (0,0) (0,0) x f (0,0) y f 2⇒1 例 3： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ ） 0 0 → → y x 故 f (x, y) 在(0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列Pn(xn,yn),xn= yn=0,显然Pn(xn,yn)>(0.0)(n→>∞) 2 f2(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2nn→>-∞(m→>∞) 故1imf(x,y)不存在,从而Jx(x,y)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性,f,(x,y)在(00)点 也不连续。 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分→可导。但对二元函数,可微与偏导存在并 不等价,即:可微→偏导存在,反之未必。应特别引起注意。 5、 Taylor公式的几种形式 若函数f(x,y)在P(x0,y0)点的某领域内有直到n+1阶连续偏导数,则 (1)f(x,y)=f(x0+x,y+4y)=2(rx+4po )f(xo, yo)+R 其中Rn (Δx+yx)f(xa+Ax,yo+的Ay) (2)为方便,记h=△x,k=△y,则 f(x,y)=f(x0+hy0+k)=∑(h+k。)f(x,y)+R,其中 R ∞.,0y-f(x+m1+) (n+I)! x a (3)f(x,y)=/(o+Ax,yo +y)=I d"f(o, yo)+R 其中Rn=,df(x0+Ax,y+y) (n+1) 、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值 三、基本要求
精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列 Pn (xn , yn )， nπ xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 Pn (xn , yn ) → (0,0)(n → ∞) ， f (x , y ) = −2 2n cos2n → −∞(n → ∞) x n n π π 故lim ( , ) 不存在，从而 在 点不连续。由 0 0 f x y x y x → → f (x, y) x (0,0) x, y 的对称性， 在 点 也不连续。 f (x, y) y (0,0) 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微⇔ 可导。但对二元函数，可微与偏导存在并 不等价，即：可微⇒偏导存在，反之未必。应特别引起注意。 5、Taylor 公式的几种形式 若函数 f (x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 点的某领域内有直到 n +1阶连续偏导数，则 （1） n k n k f x y R y y x x k f x y f x x y y + ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = + ∆ + ∆ = ∑ ∆ = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x n R n n + ∆ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ ∆ + = + θ θ 。 （2）为方便，记 h = ∆x, k = ∆y ，则 n k n k f x y R y k x h k f x y f x h y k + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = ∑= ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 ，其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x h y k y k x h n R n n +θ +θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + 。 （3） n k n k d f x y R k f x y = f x + ∆x y + ∆y = ∑ + = ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 d f x x y y n R n n + ∆ + ∆ + = + θ θ 。 二、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值。 三、基本要求 4
精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数 2、会展开泰勒展式,并求极值 四、典型例题 例1设v=g(-c为常数,函数g二阶可导,r=√x2+y2+z2,证明 证变量之间的关系为 注意这里g是某变量n的一元函数,而=1-。 Ov av ar a-va-v a a-r 因为 ax ar ax ax ar2 ax ar ax 由x,y,z的对称性得 oy )2+Pb ar az a2r 而 由x,y,z的对称性得 y Cy ay ar a-r 于是02paa2 v av. ar r2.Or、2,,02ro2ra Ov 37 a-v av 2 又因为 g(t g'( a2y 2 2=38(--)+=28(--)+-2g"(t
精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数； 2、会展开泰勒展式，并求极值。 四、典型例题 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 证 变量之间的关系为 ，注意这里 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ t z y x r v g 是某变量u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 而 r x x r = ∂ ∂ ， 2 2 2 r x r r x x r ∂ ∂ − = ∂ ∂ 3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ = r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − − ′ − − = ∂ ∂ ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − + ′ − + ′′ − ∂ ∂ 5