S4、函数展开成幂级数直接展开法(a)n)(x,)Z(x一x)"，将函数f(x)展开为幂级根据展开公式f(x）=n!n=0数的方法，称为直接展开法函数f(x)展开为麦克劳林级数的一般步骤：第一步求出f(x)的各阶导数f'(x), f"(x),..,f(n)(x),..;第二步求出 f(x)的各阶导数值f(0), f'(0),f"(0),...,f (n (0),..;第三步写出f(x)的麦克劳林级数和收敛半径；2monf(x) =n!n=0f(") (0)f"(0)f(x) = f(0)+ f'(0)x +(-R<x<R).七X"2!n!f (n+) (0x)n+1第四步= 0,(0 < 0 <1),验证极限lim R,(x)=lim(n +1)!n-→+00eo中个个个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 6 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 (R x R). , ! (0) ( ) 0 ( ) n n n x n f f x
例 1 求函数f(x)=e*的麦克劳林展开式解 f(n)(x)= e*, f(")(0) =1,(n = 0,1,2,.),=1+(-8< x < +8).21eleyexI f(n+1)(ax)01+1[ R, (x) /=xn+1/x "+1, (0 <0<1)L(n+1)!(n+1)!(n + 1)!els+00+00+00Z因之(n+1)/x/收敛，故ZR,(x)收敛,R,(x)收敛,n=1n=1lim R, (x) = 0.n>+00008个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 7 (0) 1,( 0,1,2, ), f (n) (x) e x , f (n) n , ! 1 2! 1 1 x 2 x n n e x x ( x ). 1 ( 1) | | ( 1)! | ( )| | ( )| n n n x n f x R x 1 | | ( 1)! n x x n e | | , (0 1) ( 1)! 1 | | n x x n e