第五节曲面及其方程
第五节 曲面及其方程
本节必须掌握哪些内容? 。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x2y,)=0一对应。 讨论两类问题 1。曲面作为点的几何规迹,如何建立这个曲面 的方程? 2。已知方程F(xy,x)=0,研究这个方程所表示的 曲面的形状。 二。旋转曲面及其方程特点
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x,y,z)=0一一对应。 本节必须掌握哪些内容？ 讨论两类问题： 1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面 的方程？ 2。已知方程F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的 曲面的形状。 二。旋转曲面及其方程特点 三。柱面及其方程特点
。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x2y,2)=0对应。 平面曲线4y=f(x)x∈D即F(xy)=0.x∈D 曲面4=f(x,y)(xy)∈D即F(xy=)=0(xy)∈D 主要讨论两类问题: 1。曲面作为点的几何规迹,如何建立这个曲面的方程? 2。已知方程F(x,y2=0,研究这个方程所表示的曲面的形状。 通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。 例1。求球心在点(x02y0=0)半径为R的球面方程。 例2。求以4x12y12=)B(x2y2=2)为端点的线段AB的垂直平分 面的方程。 例3。方程Ax2+4y2+A2+Dx+By+F+G=0 表示怎样的曲面?
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x,y,z)=0一一对应。 平面曲线 y = f (x), x D 即 F(x, y) = 0, x D 曲面 z = f (x, y),(x, y) D 即 F(x, y,z) = 0,(x, y) D 主要讨论两类问题： 1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面的方程？ 2。已知方程F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的曲面的形状。 通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。 例1。求球心在点 (x0 , y0 ,z0 ) 半径为R的球面方程。 例2。求以 为端点的线段AB的垂直平分 面的方程。 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 2 2 2 A x y z B x y z 例3。方程 0 2 2 2 Ax + Ay + Az + Dx + Ey + Fz +G = 表示怎样的曲面？
方程2+2+42+Dx+E+F+G=0 的特点是: 1。是三元二次方程;2。平方项糸数相等;3。缺非平方 二次项。 经配方得:(x+)+(+ D F、,D2+E2+F2-4G +(2+ 2A 2A 2A 4A 如果D2+E2+F2-4G>0.为球面。 D2+E2+F2-4G=0为一点。 D2+E2+F2-4G<0无点的实轨迹
0 2 2 2 Ax + Ay + Az + Dx + Ey + Fz +G = 方程 的特点是： 1。是三元二次方程；2。平方项糸数相等；3。缺非平方 二次项。 经配方得： 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( A D E F G A F z A E y A D x + + − + + + + + = 如果 D E F 4G 2 2 2 + + − D E F 4G 2 2 2 + + − D E F 4G 2 2 2 + + − 0, 为球面。 = 0, 为一点。 0, 无点的实轨迹
二。旋转曲面及其方程 平面上的一条曲线(称母线)绕其上的一条定直线(称旋转轴) 旋转一周所得的曲面称旋转曲面 为使方程形式简单,常取定直线作为坐标轴(比如Z轴)。 旋转曲面的形成(如图): 设M(x,y,z) M1(0,y1,x1) M (1)z=1 (2)点M到轴的距离 d=x2+y2=|y1 将z=x1,y1=土x2+y2代入 f(y12z1)=0
二。旋转曲面及其方程 平面上的一条曲线（称母线）绕其上的一条定直线（称旋转轴） 旋转一周所得的曲面称旋转曲面。 为使方程形式简单，常取定直线作为坐标轴（比如Z轴）。 旋转曲面的形成（如图）： x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d