第7章 多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念
第7章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念
第7章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 多元函数和一元函数中一些基本概念的比较 元函数 二元(多元)函数z/z=f(x,y),(x,y)?D ly /y= f(x),x? DI 邻域 邻域 6(x0)={x/x U(F0) x0)2+(y-y0)2 或U(p0)=P/Pl< 去心邻域 U(B)={(x,y)/0<√(x-x0)2+(y-y0)2< (x0)={x/0< <6 或U(2)=(P/0<| 如果对于x?E,存在)如果对于x?E,存在mB)使)?E 使x)?E称x为集合E 称x。为集合E的内点 的内点 如果E内每一点都是内点如果E内每一点都是内点称E为开集 称E为开集
第7章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一．多元函数和一元函数中一些基本概念的比较 一元函数 {y / y = f(x), x ? D} 二元（多元）函数{z / z = f(x, y),(x, y) ? D} 邻域 d(x0 ) = {x /x - x0 < d} 邻域 ( ) {( , )/ ( ) ( ) } 2 0 2 U P0 = x y x - x0 + y - y < d 或U(p0 ) = {P /PP0 < d} 去心邻域 d( 0 ) = { / 0 < - 0 < d} ? x x x x ( ) {( , )/ 0 ( ) ( ) } 2 0 2 0 = < - 0 + - < d ? U P x y x x y y 或U(P0 ) ? ={P / 0 < PP0 < d} 如果对于x0 ? E ，存在d(x0 ) 使d(x0 )? E称x0为集合 E 的内点 如果对于 x0 ? E ，存在U(P0 )使U(P0 )? E 称x0 为集合 E 的内点 如果 E内每一点都是内点 称 E 为开集 如果 E 内每一点都是内点称 E 为开集
如果开集E内任意两如果开集E内任意两点都可用折线 点都可用折线连接且连接且该折线上的点都属于E称E 该折线上的点都属于 为连通集 E称E为连通集 连通的开集称区间(开连通的开集称区域(开区域) 区间) 点x的任一邻域内既点x的任一邻域内既有E的内点又 有E的内点又有E外有E外的点,称x为E的边界点 的点,称。为E的边界 点 区间与其边界点的和区域与其边界点的和集称闭区域 集称闭区间 存在正数K,使一切存在正数K,使一切P?E与某定点 P?E与某定点A的距 A的距离a?K 离A?K的点集称有有界点集E,否则称E为无界点集 界点集E
如果开集 E 内任意两 点都可用折线连接且 该折线上的点都属于 E 称 E 为连通集 如果开集 E 内任意两点都可用折线 连接且该折线上的点都属于 E 称 E 为连通集 连通的开集称区间（开 区间） 连通的开集称区域（开区域） 点x0的任一邻域内既 有 E 的内点又有 E 外 的点，称x0为 E 的边界 点 点x0 的任一邻域内既有 E 的内点又 有 E 外的点，称 x0 为 E 的边界点 区间与其边界点的和 集称闭区间 区域与其边界点的和集称闭区域 存在正数 K，使一切 P? E 与某定点 A 的距 离 AP ? K 的点集称有 界点集 E 存在正数 K，使一切 P? E 与某定点 A 的距离 AP ? K 有界点集 E，否则称 E 为无界点集
关于n维空间和n元函数的一些概念 1.n维空间:称有序n元(x1,x2,,x)数组的全体为 n维空间,记作R 2.n维空间中两点P(x1,x2,x) 及Qy1,y2y)之间的距离 PC|=V(y1-x1)2+(y2-x2)2+.+ 3。n维空间中,点2的δ邻域记作 (Po,)={/PB<6,P?R
二．关于 n 维空间和 n 元函数的一些概念 1．n 维空间：称有序 n 元(x1 ,x2 ,..., xn )数组的全体为 n 维空间，记作 n R 2．n 维空间中两点 P(x1 ,x2 ,..., xn ) 及Q(y1 , y2 ,...yn )之间的距离 2 2 2 2 2 PQ = (y1 - x1 ) + (y - x ) + ... + (yn - xn ) 3。 n 维空间中，点P0的d 邻域记作： ( 0 , ) { / 0 , } n U p d = P PP < d P ? R
4.n元函数定义为u=(x,x2,.x),简记为u=f), 其中P(x1,x2,.,x)?D,这里D为n元函数的定义域。 5.二元函数z=fx,y),(x,y)?D 确定了一个空间点集:(x,y,2)/z=f(x,y),(x,y)?D), 这个点集称为二元函数的图形,二元函数的图形是一张曲 面 例:求下列函数的定义域: (1)((x,y)/y2-2x+1>0} (2)(x,y)/x+y>0,x-y>0
4．n 元函数定义为 u = f(x1 ,x2 ,...xn )，简记为u = f(P)， 其中P(x1 ,x2 ,...,xn )? D ，这里 D 为 n 元函数的定义域。 5．二元函数 z = f(x, y)，(x, y) ? D 确定了一个空间点集： {(x, y,z)/ z = f(x, y),(x, y) ? D}， 这个点集称为二元函数的图形，二元函数的图形是一张曲 面。 例：求下列函数的定义域： （1）{(x, y)/ 2 1 0 2 y - x + > } （2）{(x, y)/ x + y > 0,x - y > 0}