第七节平面及其方程
第七节 平面及其方程
本节必须掌握的问题: 。平面方程←>三元一次方程Ax+B+Cx+D=0 二。平面方程常用的四种形式:点法式(重要), 般式(重要) 点式,截距式 三。如何表示特殊位置的平面方程? 四。两平面的位置关系:相交(包括垂直),平行 或重合;两平面的夹角公式;空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时,平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的, 通常用最简形式来表示。比如,XOY平面的法线 向量常表示成{0,0,1}
本节必须掌握的问题： 一。平面方程 三元一次方程 二。平面方程常用的四种形式：点法式（重要）， 一般式（重要）， 三点式，截距式。 三。如何表示特殊位置的平面方程？ 四。两平面的位置关系：相交（包括垂直），平行 或重合；两平面的夹角公式；空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时，平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的， 通常用最简形式来表示。比如，XOY平面的法线 向量常表示成{0，0，1}。 Ax + By +Cz + D = 0
、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的:垂直于平面内的任一向量 已知={A,B,C},M0(x0yn,z) 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥nM0Mn=0
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 一、平面的点法式方程 n
MoM=x-xo,y-y0, z-z01 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,) 平面上的点都满足上列方程,不在平面上 的点都不满足上列方程
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上列方程，不在平面上 的点都不满足上列方程。 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-0)=0 =Ax+By+Cz-(Axo+ Byo +Czo)=0 D 0平面的一般方程 法向量n={4BC 由此可以证明:平面 对应
由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}. 二、平面的一般方程 由此可以证明：平面与三元一次方程一一对应