第五节隐函数的求导公式 经常碰到的几种隐函数及其求导公式 1.F(x,y) 0 2 F(x,y,z)=0 3 F(x,y,z)=0 4 F(x, Yi u, V)=0 G(X, y, Z)=0 G(x, yr u, v)=0 如果隐函数可以表示成显函数, 那末隐函数1的显函数为y=f(x), 隐函数2的显函数为z=f(x,y), 隐函数3的显函数为y 隐函数4的显函数为 = f(x,y g(x, y)
第五节 隐函数的求导公式 一．经常碰到的几种隐函数及其求导公式 1．F(x, y) = 0 2 ．F(x, y,z) = 0 3． ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 4． ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = G x y u v F x y u v 如果隐函数可以表示成显函数， 那末隐函数 1 的显函数为 y = f(x)， 隐函数 2 的显函数为 z = f(x, y)， 隐函数 3 的显函数为 ( ) ( ) z g x y f x = = ， 隐函数 4 的显函数为 ( , ) ( , ) v g x y u f x y = =
将y=f(x)代入F(x,y)=0得F(x,r)=0,等式两边同时对 求导,由多元复合函数的求导公式可知F+P=0,因此 dx 有隐函数1的求导公式=2 dx 将z=f(x,y)代入F(x,y,2)=0得F(x,y,f 等式两文 同时对x和y求偏导,由多元复合函数的求导公式可知 F+FZ=0 F+ FZ 因此,z
将y = f(x)代入F(x, y) = 0得F(x,f(x)) = 0，等式两边同时对x 求导，由多元复合函数的求导公式可知 + = 0 dx dy Fx Fy ，因此 有隐函数 1 的求导公式 y x F F dx dy = - 将z = f(x, y)代入F(x, y,z) = 0得F(x, y,f(x, y)) = 0，等式两边 同时对 x 和 y 求偏导，由多元复合函数的求导公式可知 0 0 + = + = y z y x z x F F z F F z ， 因此， z y y z x x F F z F F z = - , = -
将 y= f(x) 代入 F(x, Y, Z)=0 G(x,y,z)=03 得 F(x,f(x),g(x))=0 等式两 g(x) G(x,f(x),g(x))=0 边同时对x求导,由多元复合函数的求导公式可知 dz F+F F 0 设△ 则 G+ G G 0 dy GG dz dx △ dx 将 代入 F(X, y, u, V) 0 得 F(x, y, f(x, y), g(x, y)) G(x, y, f(x, y), g(x, y) 等式两边同时对x和y求偏导,由多元复合函数的求导公式 可知 F+ Fu+ 0 F+ Fu,+ 0 G+G +G G+ G +G
将 ( ) ( ) z g x y f x = = 代入 ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z ，得 ( , ( ), ( )) 0 ( , ( ), ( )) 0 = = G x f x g x F x f x g x ，等式两 边同时对 x 求导，由多元复合函数的求导公式可知 0 0 + + = + + = dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F x y z x y z ，设 y z y z G G F F D = ，则 D = D - - = z x z x x z x z G G F F G G F F dx dy ， D = D - - = x y x y y x y x G G F F G G F F dx dz 将 ( , ) ( , ) v g x y u f x y = = 代入 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = G x y u v F x y u v 得 ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y f x y g x y F x y f x y g x y ， 等式两边同时对x 和y 求偏导，由多元复合函数的求导公式 可知， 0 0 + + = + + = x u x v x x u x v x G G u G v F F u F v ， 0 0 + + = + + = y u y y y y u y v y G G u G v F F u F v
因此得P。40-41的四个公式可分别求出u2,v3,u2,vy 例1.设1n arctan 求 dx 解:设(x,y)=1nx2+y arctan y X 1+ dy Ex x + y 1+ dx 例2.设x=1n2,求?2和2 ?x? 解:设r(x,y,z)=2-1nz+1ny,F F 1 2z z y(x z)
因此得 P。40—41 的四个公式可分别求出 ux ,v x ,uy ,v y 例 1．设 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy 解：设 x y F(x, y) ln x y arctan 2 2 = + - ， 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) x y x y x y x y x y x Fx + + = + - - + = 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 x y y x x y x x y y Fy + - = + - + = ， dx dy = x y x y F F y x - + - = 例 2．设 y z z x = ln ，求 x z ? ? 和 y z ? ? 解：设 F(x, y,z)= z y z x - ln + ln ， z Fx 1 = ， z z x F y Fy z 1 , 1 2 = = - - = ( ) 2 z x + z - ， x z ? ? = z x F F - = x z z + ， y z ? ? = z y F F - = ( ) 2 y x z z +
例3.设x=x(,2),y=y(x,2),z=2(x,y)都是由方程 F(x,y,2)=0 所确定的具有连续偏导数的函数,证明: 解:2x=,y=B,2=B,国W可 2z 例4.设Φunv)具有连续偏导数,证明由方程 p(cx-az, Cy- bz)= 0 所确定的函数=f(x,y满足a2+b22= 解法1:①。=c①,④ -(a①1+bd ,代入要证的等式左边就可证明
例 3 ．设 x = x(y,z), y = y(x,z),z = z(x, y) 都是由方程 F(x, y,z) = 0 所确定的具有连续偏导数的函数，证明： = -1 ? ? ? ? ? ? ? ? x z z y y x 解： y x ? ? = x y F F - ， z y ? ? y z F F = - ， x z ? ? = z x F F - ，因此 = -1 ? ? ? ? ? ? ? ? x z z y y x 例 4 ． 设 F(u,v) 具有连续偏导数，证明由方程 F(cx - az,cy - bz) = 0 所确定的函数 z = f(x, y)满足a x z ? ? + c y z b = ? ? 解法 1：Fx = cF1 , Fy = cF2 , Fz = -(aF1 + bF2 ) x z ? ? = z x F F - ， z y y z F F = - ? ? ，代入要证的等式左边就可证明