第二节偏导数 偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义与导数的定义有类似的地方,要注意两者的 相同之处与不同之处 lim f(x0+△x)-f(x0) 称函数y=f(x)在点x的导 dx △x?O △x 数。 lim f(xo+ Ax, yo)-f(xo, yo △x?0 △x 称函数z=f(x,y)在点(xo,y处对x的偏导数 也可记作或=,(xny0),(xn,y ? 函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y的偏导数,可类似地定义和 表示
第二节 偏导数 一．偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义与导数的定义有类似的地方，要注意两者的 相同之处与不同之处。 x x0 dx dy = = 0 lim Dx ? x f x x f x D ( 0 + D ) - ( 0 )称函数 y = f(x)在点x0 的导 数。 0 0 y y x x x z = ? = ? = 0 lim Dx ? x f x x y f x y D ( 0 + D , 0 ) - ( 0 , 0 ) 称函数z = f(x, y)在点(x0 ,y0 )处对x 的偏导数 ，也可记作 0 0 y y x x x f = ? = ? 或zx (x0 , y0 ),fx (x0 , y0 ) 函数z = f(x, y)在点(x0 ,y0 )处对y 的偏导数，可类似地定义和 表示
如果在上述定义中,将点。,y。换成(x,y),可得函数=r(x,y) 分别对x及y的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏 导数,称偏导数为偏导数在某点的值。 由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只有一个自变量在变动, 其余自变量都是固定的,所以求偏导数时只要把其余的自变量 暂时看成常量,具体方法是与一元函数的求导完全类似的。 例1求二元函数z=sin(xy)+cs2(xy)分别关于变量x和 变量y的偏导数和偏导数在点0,x)的值。 解: y cos(xy)- 2y cos(xy)sin(xy)= y cos(xy)[1-2 sin(xy) x cOS(xy)- 2x cos(xy)sin(xy)= x cos(xy)[1-2 sin(xy)] z,(0,-)=0
如果在上述定义中，将点(x0 ,y0 )换成(x, y)，可得函数z = f(x, y) 分别对x 及y 的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏 导数，称偏导数为偏导数在某点的值。 由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只有一个自变量在变动， 其余自变量都是固定的，所以求偏导数时只要把其余的自变量 暂时看成常量，具体方法是与一元函数的求导完全类似的。 例 1 求二元函数 sin( ) cos( ) 2 z = xy + xy 分别关于变量 x和 变量 y 的偏导数和偏导数在点 ) 2 (0, p 的值。 解： zx = y cos(xy) - 2y cos(xy)sin(xy) = y cos(xy)[1 - 2 sin(xy)] zy = x cos(xy) - 2x cos(xy)sin(xy) = x cos(xy)[1 - 2 sin(xy)] ) 2 (0, p zx = 2 p ， ) 2 (0, p zy =0
例2.求三元函数a=x2(x>0,x?1分别关于变量x,y,z 的偏导数 y 解:u.=yx 1 y y x21nxy,=(-)x21n 例3.设z=e,求证:x22+y22=2 证 9z ?z 1 e y 2 2z,证毕 ox 偏导数的几何意义 对于一元函数y=f(x)在点x0的导数?x),其几何意义 为曲线y=f(x)过点(x0,yo)的切线的斜率
例 2．求三元函数 z y u = x (x > 0,x ? 1)分别关于变量 x,y,z 的偏导数 解： -1 = z y x x z y u ，uy = z 1 z y x ln x ，uz = x x z y z y ( ) ln 2 - 例 3．设 , ) 1 1 ( x y z e - + = 求证： z y z y x z x 2 2 2 = ? ? + ? ? 证： x z ? ? = ) 1 1 ( 2 1 x y e x - + ， y z ? ? = 2 1 y ) 1 1 ( x y e - + ， \ 2 x x z ? ? + 2 y y z ? ? =2 ) 1 1 ( x y e - + =2z,证毕 二．偏导数的几何意义 对于一元函数 y = f(x)在点x0的导数f(?x0 )，其几何意义 为曲线 y = f(x)过点(x0 ,y0 )的切线的斜率
下面讨论二元函数z=x(x,y)在点(x,y)对变量x的偏 导数的几何意义: 设x)为曲面=-y上的一点,过点作 平面y=y,截此曲面得曲线,其方程为z=x(x,y),那 末一元函数的导数 dz df(x,y =f2(xo,y),而前者表示曲线 dx X-Xo 过点 (x,y0)的切线对x轴的斜率,因此偏导数(xo,yo)的几何意 义是曲面z=f(x,y)被平面y=y所截得的曲线在点M。处 的切线对x轴的斜率。同理,偏导数f,(x。,y)的几何意义 是曲面z=x(x,y)被平面x=x0所截得的曲线在点M。处的 切线对y轴的斜率
下面讨论二元函数z = f(x, y)在点(x0 , y0 )对变量 x的偏 导数的几何意义 : 设 M0 (x0 , y0 ,f(x0 , y0 ))为曲面z = f(x, y)上的一点，过 M0 作 平面 y = y0，截此曲面得曲线，其方程为 z = f(x, y0 )，那 末一元函数的导数 x x0 dx dz = = 0 ( , 0 ) dx x x df x y = =fx (x0 ,y0 )，而前者表示曲线 z = f(x, y0 ) 过点 (x0 , y0 )的切线对 x 轴的斜率，因此偏导数fx (x0 , y0 )的几何意 义是曲面 z = f(x, y)被平面 y = y0所截得的曲线在点 M0 处 的切线对 x 轴的斜率。同理，偏导数 fy (x0 , y0 )的几何意义 是曲面 z = f(x, y)被平面 x = x0所截得的曲线在点 M0 处的 切线对 y 轴的斜率
例4.曲线2=4在点(2,4,5)处的切线对于x轴 的倾角是多少? 解:根据偏导数的几何意义,所求夹角的正切 为 X z(2,4)= 4 (另一种做法是在平面y=4上,曲线的方程为z=+4, 4 切线对于x轴的倾角的斜率是tan0=2=1,=z) aX 化对于一元函数,如果在某点可导,必定在该点连续。下 面讨论对于二元函数,函数在某点“偏导数存在”与在该点 “连续“两者之间有没有必然联系?
例 4．曲线 4 4 2 2 = + = y x y z 在点（2，4，5）处的切线对于 x 轴 的倾角是多少？ 三．化对于一元函数，如果在某点可导，必定在该点连续。下 面讨论对于二元函数，函数在某点“偏导数存在”与在该点 “连续“两者之间有没有必然联系？ 解： 根据偏导数的几何意义，所求夹角的正切 为 1 2 (2,4) 2 = = x = x x z ， 4 p \ q = （另一种做法是在平面 y=4 上，曲线的方程为 4 4 2 = + x z ， 切线对于 x 轴的倾角的斜率是tan q = dx x =2 dz =1， 4 p \ q = ）