第四节全微分及其应用 全微分的定义 区分二元函数的几个基本概念: 二元函数z=f(x,y)在点P(x,y关于自变量增量△x和△y 的全增量为 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y 2.二元函数z=x,y)在点Pxy关于自变量增量Ax的偏 增量为f(x+Ax,y)-f(x,y) 二元函数z=f(x,y)在点Px,y)关于自变量增量△y的 偏增量为 f(x,y+△y)-f(x,y)
第四节 全微分及其应用 一。 全微分的定义 区分二元函数的几个基本概念： 1．二元函数z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dx 和Dy 的全增量为 Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) 2．二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dx 的偏 增量为 f(x + Dx, y) - f(x, y) 二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dy 的 偏增量为 f(x, y + Dy) - f(x, y)
3.二元函数=f(x,y在点p(x,y)关于自变量增量Ax的偏微 分为f(x,y)△x 二元函数z=f(x,y)在点Px,y)关于自变量增量△y的偏 微分为f,(x,y)△y (其中,x2(x,y)和fy是z=f(xy)分别关于变量x和变量 y的偏导数) 根据一元函数中,函数增量与函数微分的关糸 △y=3x△x+aAx=dy+o(Ax)可知,当x?0时,ay-ay?0 下面讨论二元函数z=(x,y在点x,y)可微及全微分的概念:
3．二元函数z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量Dx 的偏微 分为fx (x, y)Dx 二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dy 的偏 微分为 fy (x, y)Dy （其中，fx (x, y)和fy (x, y)是z = f(x, y)分别关于变量x 和变量 y 的偏导数） 根据一元函数中，函数增量与函数微分的关糸 Dy = f(?x0 )Dx + aDx = dy + o(Dx)可知，当Dx ? 0 时，Dy -dy ? 0 下面讨论二元函数z = f(x, y)在点(x, y)可微及全微分的概念：
定义 如果函数 的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为Az=Ax+BAy+o),其中A,B不依赖于△x,Ay 而仅与x,y有关,p=√△x2+△2,则称函数=f(x,y)在 点(x,y)可微分,而 d=Ax+BAy,称为函数z=f(x,y)在点x;y)的全微分。 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处都可微分,那末称 函数在D内可微分
如果函数z = f(x, y)在区域 D 内每一点处都可微分，那末称 函数在 D 内可微分。 定义 如果函数 z = f(x, y) 的全增量 Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) 可表示为Dz = ADx + BDy + o(r)，其中A，B 不依赖于Dx ，Dy 而仅与x ，y 有关， 2 2 r = (Dx) + (Dy) ，则称函数z = f(x, y)在 点(x, y)可微分，而 dz =ADx + BDy ，称为函数 z = f(x, y)在点(x, y)的全微分
函数在点(x3y)连续,偏导数存在,可微及偏导数连续之间 有如下的关系: 偏导数连续→可微x连续 y偏导数存在 反之不成立(对于一元函数,可导和可微是等价的) 定理1。可微必连续 证:可微?△z=f(x+△x,y+△y)+,y)=MAx+By+0p, 其中p=√4x2+△y)2, lim 1 因此△x?0△z=0,即△x?0r(x+△x,y+△y)r(x,y), △y?0 证毕
函数在点(x,y)连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间 有如下的关系： 偏导数连续→可微↗连续 ↘偏导数存在 反之不成立（对于一元函数，可导和可微是等价的） 定理 1。可微必连续 证：可微 ? Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)=ADx + BDy +o(r)， 其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) ， 因此 0 0 lim D ? D ? y x Dz = 0，即 0 0 lim D ? D ? y x f(x + Dx, y + Dy) = f(x, y)， 证毕
定理2。可微?偏导数2,2必存在,且在=x+BMy中, B= 因此,全微分a=20△x+2△y3 (因为自变量的增量就等于自变量的微分,即 Ax=ax,Ay=y,因此,函数-r(x,y在点(x,的全微分 12=2△x+2△y也可写成a=2ax+22ay,三元函数的全 2x 微分则为au ? Qu dy+ dz 2x 9z
定理 2。可微? 偏导数 x z ? ? ，y z ? ? 必存在，且在dz =ADx + BDy 中， A= x z ? ? ，B= y z ? ? 因此，全微分dz = x z ? ? Dx + y z ? ? Dy （因为自变量的增量就等于自变量的微分，即 Dx = dx, Dy = dy ，因此，函数z = f(x, y)在点(x, y)的全微分 dz = x z ? ? Dx + y z ? ? Dy 也可写成dz = x z ? ? dx + y z ? ? dy ，三元函数的全 微分则为 dz z u dy y u dx x u du ? ? + ? ? + ? ? = ）