第三节 多元复合函数的求导法则
第三节 多元复合函数的求导法则
先复习二元复合函数的求导:设正=g在点x可导y= 在点m可导则复合函数y=在点x可导且迎 下面讨论多元复合函数的求导 多元复合函数的求导有如下几种类型: f(u, v),u 如),V=),(即。?u 型 那末,复合函数=[0t),wt)1在点t的导数为 dz ?z du ?z d (1) dt ?u dt ?v dt (要掌握在什么情况下该使用导数的符号,什么情况下该使 用偏导数的符号?)
下面讨论多元复合函数的求导 多元复合函数的求导有如下几种类型： 1．z = f(u,v),u = f(t),v = y(t)，（即z v u ? ? ? t型） 那末，复合函数 z = f[f(t),y(t)] 在点 t 的导数为 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = （1） （要掌握在什么情况下该使用导数的符号，什么情况下该使 用偏导数的符号？）
定理可严格叙述如下: 如果函数u=如(及v=w(t都在点t可导, 函数z=1v在对应点v具有连续偏导数, 则复合函数z=红t),vt)在点t可导,且其导数计算公式为 dz z aU t-4 av dt ? u dt ?v at 证:当t?t+△t时,a?u+△u,?w+△v,z?z+△ 因为函数z=(x,v在点v)具有连续偏导数, 因此由P。24公式(6)可知 2Z △ △n+22△y+E1△n+6,△v,这里,当?0,△v?0时, ? E1?0,E2?0,上式两边同除以△t,注意到, 当△t?0,△a?0,△v?0, 因此,=2zm?zd dt ?u dt ?v dt
证：当t ? t + Dt时，u ? u + Du,v ? v + Dv,z ? z + Dz， 因为函数z = f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数， 因此由 P。24 公式（6）可知 v u v v z u u z z D + D + D ? ? D + ? ? D = 1 2 e e ，这里，当Du ? 0, Dv ? 0时， e 1 ? 0,e 2 ? 0，上式两边同除以 Dt，注意到， 当Dt ? 0，Du ? 0, Dv ? 0，因此， dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = 定理可严格叙述如下： 如果函数 u = f(t)及v = y(t)都在点t可导， 函数z = f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数 z = f[f(t),y(t)]在点t可导，且其导数计算公式为 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? =
对于g?t型,除了可用公式=2如+2亚计算 at u dt?v at 外,也可采用一元函数的求导方法,将=如及v=v代入 z=f0,v),可得关于t的一元函数z=f如(),wt)=ot),在此 基础上再求z对于t的导数 公式(1)可推广到三元函数: 设 z= f(u, v, W), u= o(t) y(t) )(t) 则复合函数z=印[0t),v(),a(t)1对t的导数为 a z du ?z dv z QW at Qu dt ?v dt ?w dt
对于z v u ? ? ? t型，除了可用公式 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = 计算 外，也可采用一元函数的求导方法，将u = f(t)及v = y(t)代入 z = f(u,v)，可得z关于t的一元函数z = f[f(t),y(t)]=w(t)，在此 基础上再求 z对于t的导数 dt dz 公式（1）可推广到三元函数： 设z = f(u,v,w),u = f(t),v = y(t),w = w(t), 则复合函数 z = f[f(t),y(t),w(t)]对t的导数为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? + ? ? =
2.设z=f( (x,y), 则复合函数z=[0(x,y),w(x,y)1 在点(xy)的两个偏导数可用以下公式计算: ?z?1 2x 2x? Qu ?y ?v?y 类似的公式可推广到有三个中间变量的二元复合函数: iz= f(u, v, w), u= o(x, y),v= vx, y), w= o(x, y), 则二元复合函数z=(x,y),W(x,y),o(x,y) 在点(x,y)在两个偏导数的计算公式是: 9z ZW ?u ?x ?v ?x ?w 2z?? 2v ?z ?w ?w?
2．设z = f(u,v),u = f(x, y),v = y(x, y) 则复合函数 z = f[f(x, y),y(x, y)] 在点(x, y)的两个偏导数可用以下公式计算： x v v z x u u z x z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? 类似的公式可推广到有三个中间变量的二元复合函数： 设z = f(u,v,w)，u = f(x, y),v = y(x, y),w = w(x, y)， 则二元复合函数 z = f[f(x, y),y(x, y),w(x, y)] 在点(x, y)在两个偏导数的计算公式是： x v v z x u u z x z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? x w w z ? ? ? ? + y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? y w w z ? ? ? ? +