上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 法二：固有函数直接展开法 将非齐次方程(1)的解ux,),己知函数f,2,以，按 对应齐次方程(2)的固有函数展开(F-正弦展开) 未知 u(x,t)=∑C) kπ sin- x 1 k=1 fx,)=∑f0sin kπ X, (sin kπxd, k=1 kπ (x) sin k=1 kπ (x) sin k=1 已知
法二: 固有函数直接展开法 将非齐次方程(1)的解u(x,t)，已知函数f，ϕ, ψ, 按 对应齐次方程（2）的固有函数展开（F-正弦展开） ( , ) sin . 1 ∑ ∞ = = k k x l k u x t C (t) π 未知 0 0 0 2 ( ) ( , )sin , 2 ( )sin , 2 = ( )sin . l k l k l k k x f t f x t dx l l k x x dx l l k x x dx l l π π φ φ π ψ ψ = = ∫ ∫ ∫ 1 1 1 ( , ) sin , ( ) sin , ( ) sin . k k k k k k k f x t f (t) x l k x x l k x x l π π φ φ π ψ ψ ∞ = ∞ = ∞ = = = = ∑ ∑ ∑ 已知
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 将ux,代入(I)的PDE cmmm=空a kπ → k=1 比较sin 经的系欲程→m+o广G9=元0 kπ 由(1)的初值条件→ x0-C,0sn经x-th4c0=c.0sink怀x=pvt kπ k-1 →系数满足非齐次ODE eac (5) C(0)=,Ck(O)=必k
2 2 1 1 (1) sin sin sin k kk k k u(x,t) PDE kk k kπ C (t) x a C (t) x f (t) x ll l l ππ π ∞ ∞ = = ⇒ + =⋅ ′′ ∑ ∑ 将 代入 的 1 1 1 ( ,0) 0 sin ( ) ( ,0) ' 0 sin ( ), k t k k k k k ux C( ) x x u x C ( ) x x l l π π φ ψ ∞ ∞ = = ⇒ = ∑ ∑ = = = 由（ ）的初值条件 ， 2 ( ) ODE 5 (0) , (0) . k k k k kk k k a C (t) C (t) f t l C C π φ ψ ⇒ ′′ + = = = ′ ， 系数满足非齐次 （ ） 2 sin ( ). k k k k k a x C (t) C (t) f t l l π π ⇒+ = ′′ 比较 的系数得
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY *可用Laplace变换法求解(4) 分解 Cx)=C1k)+C2k(),满足 非齐次ODE:/( C.mi (6) C1k(0)=0=C1k(0). opC (7) C2k(0)=4,C2k(0)=y少k·
1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ODE: (6) (0) 0 (0) . 0 ODE: (7) (0) , (0) . kkk k k k k k k k k kk k C (t) C (t) C (t) k a C (t) C (t) f t l C C k a C (t) C (t) l C C π π φ ψ = + ′′ + = = = ′ ′′ + = = ′ = 分解 ，满足 ， 非齐次 ， 齐次 *可用Laplace变换法求解(4)
上游充大 由ODE参数变异法（与(4）的解法一样) →C.0-ae)sin kat-D ds. 齐次ODE的解 kπat C2k (1)=cos kπat sin kπa →(1)的解 x-{k人o)sn(aar kπ X
0 1 k k ( ) ( , ) ( )sin( ) (1 ( cos sin ) sin ) . t k k l k at uxt f d k a l k at l k at k x l ka l l π τ τ τ π π ππ φ ψ π ∞ = − = + ⇒ + ∑ ∫ 的解 1 0 2 k k (4 ) ( ) ( ) ( )sin . ( ) cos sin . t k k k ODE l k at Ct f d k a l ODE k at l k at C t l ka l π τ τ τ π π π φ ψ π − ⇒ = = + ∫ 由 参数变异法 与（ ）的解法一样 齐次 的解