上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §2.3初等函数 可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1初等解析函数 2.3.2初等多值函数
可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1 初等解析函数 2.3.2 初等多值函数 §2.3 初等函数
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.3.1初等解析函数 1.指数函数 定义（指数函数）： e=e(cosy+isin以，z=x+iy∈C. e =e',Arge=y+2kπ，k=0,±1，±2，… 注：当y=0,f(x)=e,即通常意义下的R上的指数函数
2.3.1 初等解析函数 e e ( cos y isin y), z x iy C. z x = + = + ∈ 注：当y = 0, f (x) = ex ，即通常意义下的R上的指数函数。 定义（指数函数）： | e z |= ex , Argez = y + 2kπ，k = 0,±1,±2, 1. 指数函数
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 指数函数的基本性质 (1)指数函数w=e在整个C上有定义，且e2 ≠0. (2)指数函数代数性质（加法定理）：e2e2 21+22 Pf:若1=x+y,2=x2+y2,则 ee=e(cosy+isiny)e(cosy2+isin y2) =e [cos(y+y)+isin(+)]=e
指数函数的基本性质 若 ，则 指数函数代数性质（加法定理）： 1 1 1 2 2 2 z : , (2) e . 1 2 1 2 Pf z x iy z x iy e e z z z = + = + = + (1) C e 0. z 指数函数 = 在整个 上有定义，且 ≠ z w e 1 2 1 2 1 2 1 2 [cos( ) sin( )] (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 2 1 1 2 2 x x z z z z x x e y y i y y e e e e y i y e y i y + + = + + + = = + • +
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (3)指数函数w=e在整个复平面是解析， 且有(e)'=e. (4)w=e是以2π为周期的周期函数. 即 e2+2m=ee2m=e(cos2π+isin2π)= e。 (5)指数函数的渐进性态：z→0时， e极限不存在
(5) z z e 指数函数的渐进性态： → ∞时， 极限不存在。 即 ez+2πi = e z e 2πi = e z (cos2π + isin 2π ) = e z 。 (4) 2 . z we i = 是以 π 为周期的周期函数 ( )' . (3) z z z e e w e = = 且有 指数函数 在整个复平面是解析
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.三角函数 对任何复数z,定义余弦函数和正弦函数： e-ei COSZ= -sin= 2 2i 则对任何复数z,Euler公式也成立： e cos z+isin z. 注：当z∈R,三角函数即通常意义下的 R上的三角函数
2. 三角函数 e cosz isin z. iz = + 对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数： , 2 , sin 2 cos i e e z e e z iz −iz iz −iz − = + = 则对任何复数z，Euler公式也成立： z R R 注：当 ∈ ，三角函数即通常意义下的 上的三角函数