君 上降充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第四章级数 §4.2解析函数的Taylora级数展开 TTWWA SHANG 1日g日
第四章 级数 § 4.2 解析函数的Taylor级数展开
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 4.2.1 Taylor定理 设函数fz)在圆盘Uz-KR内解析， 那么在U内， f(2)=必+(2-20)+.+0n(z-20)”+ &-2iGg龙=u12 n! C:z-2=p>0,p<R。且展式唯一。 注：此幂级数展式称为z)在2o的Taylor展式
01 0 0 ( ) 0 1 0 0 ( ) ( ) ... ( ) ... 1 () ( ) ,( 0,1, 2,...), 2() ! C| | 0 R n n n n n C fz z z z z f f z d n iz n z z αα α ζ α ζ π ζ ρ ρ + = + − ++ − + = = = − − = > ∀< ∫ ， ： ， 。且展式唯一。 设函数 f(z) 在圆盘 内解析， 那么在U内， U :| z − z0 |< R 注：此幂级数展式称为f(z)在 的Taylor展式。 4.2.1 Taylor定理 0 z
明，由Cauchy积分公式 ad,1-Ng水R z-20 → =9<1,5∈C. 20 1 1 → -Z 5-20-(2-20) 1 二 1 Zo 1、 2-20 怎器 5-20
证明：由Cauchy积分公式 0 0 1 () ( ) , ,| || | , 2 C f f z d z U z z z R i z ζ ζ ζ π ζ = ∀∈ − < − < − ∫ 1, . 0 0 q C z z z = < ∈ − − ⇒ ζ ζ ∑ +∞ = + − − = − − − ⋅ − = − − − = − ⇒ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 n n n z z z z z z z z z z z ζ ζ ζ ζ ζ
上游充通大学 的级数收敛。把展式代入积分，利用解析 函数的高阶导公式， e-空aiG} =00+0C(z-20)+.+0n(z-20)”+.… 2alegc n! 由于z是U内任意一点，则在U内展式成立。 证唯一性用反证法，利用解析函数的高 阶导唯一，可证展式的系数唯一。#
1 0 0 01 0 0 1 () ( ) , 2() ( ) ... ( ) ... n C n n n f f z d i z zz zz ζ ζ π ζ αα α +∞ + = = − = + − ++ − + ∑ ∫ ( ) 0 1 0 1 () ( ). 2() ! n n n C f f z d iz n ζ α ζ π ζ + = = − ∫ 由于z是U内任意一点，则在U内展式成立。 上式的级数收敛。把展式代入积分，利用解析 函数的高阶导公式, 证唯一性用反证法，利用解析函数的高 阶导唯一，可证展式的系数唯一。#
上浒充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIYERSITY 综合幂级数的性质（和函数在收敛圆内 解析)，可得一个函数解析的另一个刻画： 推论1：函数f孔z)在一点z解析的充要条件： 它在z的某邻域内可展为z-z,的幂级数。 推论2：幂级数的和函数z)在其收敛圆周 z-2=”上至少有一个奇点. f(z)在z的Taylor展式（级数）的收敛半径 =离z最近的奇点与z之间的距离
推论1： 函数f(z)在一点z0解析的充要条件： 它在z0的某邻域内可展为 的幂级数。 综合幂级数的性质（和函数在收敛圆内 解析），可得一个函数解析的另一个刻画： | z − z |= r 0 0 z − z 推论2：幂级数的和函数f(z)在其收敛圆周 上至少有一个奇点. . ( ) Taylor 0 0 0 离 最近的奇点与 之间的距离 在 的 展式（级数）的收敛半径 z z f z z =