上4)的解法一：参数变异法（也是为了求解③》 SHANGHAI JIAO TONG UNIVER T an元 n元 解：(4对应的齐次方程通解乃Ci COS+cs1n7 -t. 则设(4)的解形式为 v.()(wc.(psin y0-c'0cos1-c07 nπ anπ sin 1c0sn971+0cos74 因为求(4)的特解中，确定c(t),c2(t)需要2个条件，这里先 用一个，为了不在yn"(t)中增加c2"(t),加深难度，先让 )co()sin
(4)的解法一: 参数变异法(也是为了求解(3)) 解: (4)对应的齐次方程通解为 cos sin . 1 2 t l an t c l an c π π + 1 2 1 1 2 2 1 2 1,2 1 4 ( ) ( )cos ( )sin . '( ) ' ( )cos ( ) sin ' ( )sin ( ) cos , (4) , ( ), ( ) 2 , , ''( ) ''( ) ' ( )cos n n n an an vt ct t ct t l l an an an v t c t t ct t l ll an an an c t t ct t l ll ctct vt c t an c t l π π π ππ π ππ π = + ⇒= − + + 则设（ ）的解形式为 因为求 的特解中 确定 需要 个条件 这里先 用一个 为了不在 中增加 ，加深难度，先让 2 ' ( )sin =0. an tct t l π +
上游充通大 c0n7-60 anπ.. anπ -C '2() 1 - 2n22 rc0cosT1+c0sm小-0 cco. → -casn1+c.0eus7小-0
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4, () () () ' ( ) sin ( )( ) cos ' ( ) cos ( )( ) sin [ ( )cos ( )sin ] ( ). ' ( )cos ' ( )sin 0, [ ' n n n n n vt a vt ft l an an an an c t t ct t ll l l an an an an c t t ct t ll l l n an an a ct t ct t f t ll l an an ct tct t l l an c l π ππ π π ππ π π ππ π π π π ′′ + =⇒ − − + − + += + = ⇒ − 则由（ ） 1 2 ( )sin ' ( )cos ] ( ). n an an t t c t t ft l l π π + =
上泽文通大学 求解出 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY sin → ca品aeo1 对c'1(t),c'2(t)从0到t积分， =c0-fm7, → c0)co 由初值 条件为0
1 2 ' ( )= ( )sin( ), ' ( )= ( )cos( ). n n l an c t ft t an l l an c t ft t an l π π π π − ⇒ 求解出 1 2 1 1 0 2 2 0 '() '() 0 t , ( ) (0) ( )sin , ( ) (0) ( )cos . t n t n ct ct l an ct c f d an l l an ct c f d an l π τ ττ π π τ ττ π = − ⇒ = + ∫ ∫ 对 ， 从 到 积分 由初值 条件为0
上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →(4)的解为 0=c(0eos941+c(0sn71 sindr. 三定解问题(3)的解为： x0-20sm n=] -立asm-dsmx n元
1 2 0 1 0 1 (4) ( ) ( )cos ( )sin ( )sin ( ) . (3) ( , ) ( )sin [ ( )sin ( ) ] sin . n t n n n t n n an an vt ct t ct t l l l an f td an l n V xt v t x l l an n f td x an l l π π π τ ττ π π π π τ ττ π ∞ = ∞ = ⇒ = + = − ⇒ = = − ⋅ ∫ ∑ ∑ ∫ 的解为： 定解问题 的解为：
上游充通大 非齐次PDE(3)的解 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →(1)的解 u(x,t)=V(x,t)+w(x,t) 齐次PDE (2)的解 含{kn-Dr kπat kπ X kπa
( cos sin ) sin . ( ) ( )sin ( , ) ( , ) ( , ) (1) k k 1 0 x l k l k at k a l l k at d l k a t f k a l u x t V x t W x t k t k π π ψ π π ϕ τ π τ τ π + + − = = + ⇒ ∑ ∫ ∞ = 的解 非齐次PDE（3）的解 齐次PDE （2）的解