上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第四章级数 漏 w■w SHANG 1日g日
第四章 级数
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1.复级数与幂级数 2.解析函数的Taylor展开 3.解析函数的Laurent)展开 4.孤立奇点
1. 复级数与幂级数 2. 解析函数的Taylor展开 3. 解析函数的Laurent展开 4. 孤立奇点
上游充通大 §4.1幂级数 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 4.1.1复数项级数 ∑2n(或∑2n)=乙+z2+2n+, n=1 其部分和序列为{Sn},其中Sn=1+22+…+2n 称为通项 若序列{Sn}收敛且极限是 s,那么称级 数收敛到s,记作 =5 +0 n=1 若序列{S}发散，则称级数∑n发散
其部分和序列为 ( ) ... ...., 1 2 1 ∑ ∑ = + + + +∞ = n n n n z 或 z z z z { } ... . n n 1 2 n S ，其中S = z + z + + z 若序列 收敛且极限是 s ，那么称级 数收敛到 s ，记作 { } Sn 1 n n z s +∞ = ∑ = n z { }n S § 4.1 幂级数 4.1.1 复数项级数 称为通项. 若序列 发散，则称级数 ∑ 发散. n z
上游充大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义（数列{Sn}极限） 设s是一个复常数。如果任给>0 可以找到一个正数N,使得当n>W时， S,-sK8 那么我们说S,收敛或有和s,或者说S 是收敛序列，并且收敛于s,记作 lim S, S
定义（数列 极限） 设s是一个复常数。如果任给 ， 可以找到一个正数N，使得当n>N时， ε > 0 | | n S s − < ε 那么我们说Sn收敛或有和 s，或者说Sn 是收敛序列，并且收敛于s，记作 lim . n n S s →+∞ = { } Sn
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 命题：令 an =Rezn,bn Imzn,a=Res,b Ims 则有 ∑24=∑a,+2b: k=1 k=1 k=1 因此，级数∑zn 收敛于s的充要条件是： 级数∑an收敛于a以及级数∑b.收敛于b
命题 : 令 a z b z a sb s n nn n = = = = Re , Im , Re , Im 则有 11 1 nn n kk k kk k z aib = = = ∑∑ ∑ = + 因此，级数 收敛于s 的充要条件是： 级数 ∑an 收敛于a 以及级数∑bn 收敛于b。 ∑ n z