上浒充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第三章复变函数的积分 漏 wm■w SHANG 1日g日 ERSIT
第三章 复变函数的积分
上游充大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 纲要： 1、复积分的概念及性质 2、柯西积分定理 3、柯西积分公式
纲要: 1、复积分的概念及性质 2、柯西积分定理 3、柯西积分公式
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §3.1复积分的概念及性质 3.1.1 基本概念 设L为逐段光滑简单曲线(A→B),z)=u+iv在L 上有定义，把L用分点按序分成个更小的弧 A=20,1,22,2n-1,2n=B 如果Sk是k-1到2k的弧上任一点，考虑和式 Sn=∑f(5)△k 其中△2k=Zk-2k-1: k=1
§ 3.1 复积分的概念及性质 设L为逐段光滑简单曲线（A→B），f(z)=u+iv在L 上有定义,把L用分点按序分成n个更小的弧 如果 是 到 的弧上任一点，考虑和式 A = z0 ,z1,z2...,zn−1,zn = B ζ k k zk−1 z ( ) .1 1 , − = = ∑ ∆ ∆ = − k n k n k k k k S f ζ z 其中 z z z 3.1.1 基本概念
上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 令元=max{|zo2l,|z22,…,zm-12n}, 则当无限增大，且几→0时，如果无论对L的分法 及 的取法如何，都有下面惟一极限存在，那么 称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记 即 ,f(e)=lim∑f5)△ (3.1) 1→0 k=1 称为复变函数的积分，简称复积分. 当L为闭曲线时，(3.1)称为（闭合）环路积分
则当n无限增大，且 时，如果无论对L的分法 及 的取法如何，都有下面惟一极限存在，那么 称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记 即 ζ k ( )d L fz z ∫ 1 ( )d lim ( ) (3.1) n k k L n k fz z f z ζ →∞ = = ∑ ∆ ∫ 称为复变函数的积分，简称复积分． 令λ = max{| z0 z1 |, | z1z2 |,, | zn−1zn |}， 当L为闭曲线时，（3.1）称为（闭合）环路积分. λ → 0
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 3.1.2复积分的计算 设f孔z)=u(x,y)+iv(x,y)是在L上连续，将(3.1) 右 边和式分成实部与虚部，设 Zk =xk +iyk,Sk=Sk +ink, ∑f(5)△s=∑I4(5,x)+i5,7:K△x+1Ay） k=1 k=1 =∑(5，n,)A,-(5,n:)A以 k=1 k=1 [∑(5，n)△x+∑(5，n)Ay]h k=
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在L上连续, 将（3.1）右 边和式分成实部与虚部，设 [ ( , ) ( , ) ], ( , ) ( , ) ( ) [ ( , ) ( , )]( ) 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = + ∆ + ∆ = ∆ − ∆ ∆ = + ∆ + ∆ n k k k k n k k k k n k k k k n k k k k k n k k k k k k n k k k i v x u y u x v y f z u iv x i y ξ η ξ η ξ η ξ η ζ ξ η ξ η , , k k k k k k z = x + iy ζ = ξ + iη 3.1.2 复积分的计算