上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY § 7.3 δ函数
§ 7.3 δ 函数
上游究通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1.δ函数的定义 问题 质点的密度函数如何表示？瞬时电流强度？ 思路 ·质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； ·一个位于t的单位质点，质量函数为： 1,t=o m-o)F0,i≠， 极限密度为δ(tt)(Diraci函数)，一般定义为 0,1=t0 δt-i)=0,t* 且∫nδt-t)dt=1
1. δ 函数的定义 问题 • 质点的密度函数如何表示？瞬时电流强度? 思路 • 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； • 一个位于t0的单位质点，质量函数为: 0 0 0 , ( ) 0, t t t t t t δ ∞ = − = ≠ 0 0 0 1, ( ) 0, t t mt t t t = − = ≠ 极限密度为δ(t- t0) (Dirac函数）, 一般定义为 0 δ ()1 t t dt ∞ −∞ − = 且 ∫
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY δ函数为脉冲函数列的极限 设矩形脉冲函数 tk 0,|t-t>8 定义6-函数：dt-)=limm,(t-to) oo,t=to u-6M- dt =1
设矩形脉冲函数 ( ) lim ( ). 0 0 0 − t − t = t − t → ε ε 定义δ 函数：δ δ 1 2 1 ( ) 0 0 − 0 = = ∫ ∫ + − +∞ −∞ ε ε ε ε δ t t 注： t t dt dt 0 0 0 1 ,| | ( ) 2 0, | | t t t t t t ε ε δ ε ε − < − = − > 0 0 0 0 , ( ) 0, t t t t t t ε δ → ∞ = → − = ≠ δ 函数为脉冲函数列的极限
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注：在t,处连续函数f(t)-检验函数 1)f(d-im(1)fd -ea 积分中值定理 = f() ()定义6-函数：6(t-to)=lim6(t-to), S0 2)定义6(t-t)满足： ·δt-i)dt=1 (3)定义6-函数：rδt-o)f)dh=f, f(t)在t处连续
( ) 1 , 0 ( ) 2 ( ) 0 0 0 0 0 • − = ∞ = ≠ • − = − ∫ +∞ −∞ t t dt t t t t t t t t δ δ δ ， （ ）定义 满足： 0 0 0 (3) ( ) ( ) ( ), ( ) t t f t dt f t ft t δ δ +∞ −∞ − −= 定义 函数： ∫ 在 处连续. 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )-- ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 2 t t t f t t t f t dt t t f t dt f t dt f t ε ε ε ε ε δ δ ε +∞ +∞ −∞ → −∞ + → − ∀ −= − = = ∫ ∫ ∫ 积分中值定理 注： 在 处连续函数 检验函数 (1) ( ) lim ( ). 0 0 0 − t − t = t − t → ε ε 定义δ 函数：δ δ
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY δ(t-t)的导数 定义6(t-t)的导数满足： 8(u-o)f)dh=(-l)fo)力 这里fm(t)存在，且1 lim fo(t)=0,k<n
0 δ ( ) t t − 的导数 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 | | ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) lim ( )=0, . n n n n k t t t t t f t dt f t f t f t kn δ δ +∞ −∞ →∞ − − =− < ∫ 定义 的导数满足： ， 这里 存在，且