上游充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第五章留数 漏 w w东 SHANG 1日g日
第五章 留数
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 纲要： 1留数及留数定理 2留数理论的应用
纲要: 1 留数及留数定理 2 留数理论的应用
上游充通大学 §5.1留数及留数定理 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 5.1.1定义 f(z)在孤立奇点z的某去心邻域0<2-z<R 内解析，且有Laurent展式： f(2)=..+c-n(2-20)+.+c-1(2-20)1 +Co+C1(2-20)+.+Cn(2-20)”+.…0<2-20lKR de.() C为0<忆-zo<R内包含z的任意一条闭曲线
§5.1 留数及留数定理 5.1.1 定义 f (z) 在孤立奇点z0的某去心邻域 0<|z−z0|<R 内解析，且有Laurent展式： f (z) = ... +c−n(z−z0)−n+...+c−1(z−z0)−1 +c0+c1(z−z0)+...+cn(z−z0)n+... 0<|z−z0|<R C 为0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条闭曲线。 1 0 1 () d . ( 0, 1, 2, ) 2 π ( ) n n C f c n i z ζ ζ ζ + = = ±± − ∫Ñ L
上降充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY n=-1时，有 C-1 df(d 将Laurent展式两端沿C逐项积分。 称c1为f(z)在z的留数 Residual 记作Res[f(z),zol,即 RoNO,-l=eAa:c
n = −1时，有 将Laurent展式两端沿C逐项积分。 称c−1为 f (z)在 z0 的留数 , 记作 Res[ f (z), z0], 即 Residual 0 d 1 ( ) 2 1 Res[ ( ), ] = ∫ = − f z z c i f z z C π ( )d ( )d 2 . 2 π 1 −1 = ∫ ⇒ ∫ = −1 f z z f z z ic i c C C π
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 5.1.2留数定理 设函数f()在区域D内除有限个孤立奇点z, 22,2n外处处解析，连续到边界C(正向简单闭 曲线)，则 Va)dz=2πRestf(2)2l. k=1
设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析，连续到边界C（正向简单闭 曲线）, 则 5.1.2留数定理 1 ( )d 2 π Res[ ( ), ]. n k C k fz z i fz z = Ñ∫ = ∑