定理1的意义： 因为实对称矩阵A的特征值入：为实数，所以齐次 线性方程组(A-2,E)x=0是实系数方程组。 又因为A-1,E=0，可知该齐次线性方程组一定 有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向 量
定理1的意义： 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定 有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向 量。 0 A E − = i 因为实对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次 线性方程组 A i ( ) 0 A E x − = i 是实系数方程组
定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量 我楼无关。 证：设人，入，是对称矩阵A的两个特征值，且入≠入2， P1,P2是依次与之对应的特征向量。 则Ap1=入P1,A2=九2P2,(21≠2) QA为实对称矩阵，AI=A 考虑pT=()'=(印，)'=A=pA,右乘n 于是pp,=pA=p·(p)=pp, （元2)pp2=0.Q元≠2，∴pp2=0. ∴pP2=[p1,P2]=0即P1,P2正交
定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设 1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2 , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = = , , ( ) Q A 为实对称矩阵， T = A A 1 1 , T T T 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = = p A p A T T T 考虑 p p Ap = = 2 右乘 p 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T p p p A p p p = = 2 1 2 , T = p p ( 1 2 1 2 ) 0. T − = p p 1 2 Q , 1 2 0. T = p p 1 2 1 2 , 0 T = = p p p p 即 p p 1 2 , 正交。 正交。 线性无关
定理3：A为n阶实对称矩阵，入是A的r重特征值， 则对应于入的特征向量中，线性无关的向量 结论 的个数为T,即(A-2E)x=0的基础解系 可 所含向量个数为r. R(A-九E)=n-r. 定理4：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n阶实对称矩阵A, 一定存在n阶正交矩阵P,使得PAP=人. 其中△是以A的n个特征值为对角元素的对角阵
定理3： A 为 n 阶实对称矩阵， 是 A 的 r 重特征值， 即 的基础解系 所含向量个数为 r. ( ) 0 A E x − = 则对应于 的特征向量中，线性无关的向量 的个数为 r, R A E n r ( ) . − = − 知 道 结 论 即 可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ， 一定存在 n 阶正交矩阵 P, 使得 1 P AP . − = 其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵