定理2（充分条件）若函数z=f(xy)在点(x0,0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,y0)=0 令A=fxx(0,0),B=fxy(x0,0),C=fy(xo,0） 「A<0时取极大值 则：1)当AC-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值， 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 f y x0 y0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y xx x y y y 0 2 AC B 0 2 AC B 0 2 AC B 且
例2.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值， 解：第一步求驻点。 fx(x,y)=3x2+6.x-9=0 解方程组 1f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B xx,y)=6x+6,f(x,y)=0,y(x,)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0.A>0, .f(1,0)=-5为极小值：
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) 6x 6, xx f (x, y) 0, xy f (x, y) 6y 6 y y 12 6 0, 2 AC B A 0
在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 4AC-B2=12×(6)<0,1,2)不是极值： 在点(-3,0)处A=-12,B=0,C=6, 4C-B2=-12×6<0,.f(-3,0)不是极值； 在点(-3,2)处A=-12,B=0,C=-6 AC-B2=-12×(6)>0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=O,Jyy(x,y)=-6y+6 A B
在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. f (x, y) 6x 6, xx f (x, y) 0, xy f (x, y) 6y 6 y y 12 6 0, 2 AC B 12 ( 6) 0, 2 AC B A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC B A B C
例3.讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点(0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(00)都有 AC-B2=0 z=x3+y3在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为负，因此0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，：=(x2+y2)2>0.0=0 因此z(0,0)=(x2+y2)20.0=0为极小值
例3.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 y 2 时 2 2 2 z (x y ) z (0,0) 0 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 O x y z