例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性. 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)=1,f(①)=-3.由介值定理知存在x∈(0,1)，使 f(xo)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性. 假设另有x∈(0,1)，≠xo,使f(x)=0,:f(x)在以 0,1为端点的区间满足罗尔定理条件，.在0，x1之间 至少存在一点5，使f'(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真！
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设
例2.设f(x)∈C[0,π]，且在(0，π)内可导，证明至少存 在-点5e(0,π)，使f'(5)sin5=-f(5)cos5. 分析：要证∫"(5)sin5+f(5)cos5=0 [f(x)sinx]-=0 即 证明设F(x)=f(x)sinx 容易验证证F(x)在[0，π]上满足罗尔定理条件 由罗尔定理定理得至少存在一个飞，使得 F(ξ)=0 即 f'(5)sin5+f(5)cos5=0. 从而f'(5)sin5=-f(5)cos5
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 设 f (x)C[0, ], 且在 (0, ) 内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( )sin = − f ( )cos . 分析: 要证 即 ( )sin = 0 x= f x x 容易验证证 F(x) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件. 证明 设 F(x) = f (x)sin x 由罗尔定理定理得.至少存在一个, 使得 F( ) = 0 即 f ( )sin + f ( )cos = 0. 从而 f ( )sin = − f ( )cos